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An fbsde approach to market impact games with stochastic parameters

Probability, Uncertainty and Quantitative Risk 2021年第3期6卷 237-260页

作者： Samuel Drapeau Peng Luo Alexander Schied Dewen Xiong SAIF/CAFR/CMAR and School of Mathematical Sciences Shanghai Jiao Tong UniversityShanghai 200030China School of Mathematical Sciences Shanghai Jiao Tong UniversityShanghai 200240China Department of Statistics and Actuarial Science University of WaterlooCanada

In this study,we have analyzed a market impact game between n risk-averse agents who compete for liquidity in a market impact model with a permanent price impact and additional slippage.Most market parameters,including volatility and drift,are allowed to vary stochastically.Our first main result characterizes the Nash equilibrium in terms of a fully coupled system of forward-backward stochastic differential equations(fbsdes).Our second main result provides conditions under which this system of fbsdes has a unique solution,resulting in a unique Nash equilibrium.

关键词： Market impact game Nash equilibrium fbsde

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Time-inconsistent stochastic linear quadratic control for discrete-time systems

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Science China(Information Sciences) 2017年第12期60卷 44-56页

作者： Qingyuan QI Huanshui ZHANG School of Control Science and Engineering Shandong University

This paper is mainly concerned with the time-inconsistent stochastic linear quadratic(LQ) control problem in a more general formulation for discrete-time systems. The time-inconsistency arises from three aspects: the coefficient matrices depending on the initial pair, the terminal of the cost function involving the initial pair together with the nonlinear terms of the conditional expectation. The main contributions are: firstly,the maximum principle is derived by using variational methods, which forms a flow of forward and backward stochastic difference equations(fbsde); secondly, in the case of the system state being one-dimensional, the equilibrium control is obtained by solving the fbsde with feedback gain based on several nonsymmetric Riccati equations; finally, the necessary and sufficient solvability condition for the time-inconsistent LQ control problem is presented explicitly. The key techniques adopted are the maximum principle and the solution to the fbsde developed in this paper.

关键词： time-inconsistency open-loop equilibrium control maximum principle fbsde nonsymmetric Riccati equations

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The near-optimal maximum principle of impulse control for stochastic recursive system

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Science China(Information Sciences) 2016年第11期59卷 92-105页

作者： Jianhui HUANG Detao ZHANG Department of Applied Mathematics Hong Kong Polytechnic University School of Economics Shandong University

Here, we discuss the near-optimality for a class of stochastic impulse control problems. The state process in our problem is given by forward-backward stochastic differential equations(fbsdes) with two control components involved: the regular and impulse control. More specially, the impulse control is defined on a sequence of prescribed stopping times. A recursive cost functional is introduced and the maximum principle for its near-optimality(both necessary and sufficient conditions) is derived with the help of Ekeland’s principle and variational analysis. For illustration, one concrete example is studied with our maximum principle and the corresponding near-optimal control is characterized.

关键词： Ekeland’s principle fbsde impulse control maximum principle near optimality

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不完备信息下带约束的随机最优控制问题及其应用

不完备信息下带约束的随机最优控制问题及其应用

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作者：万鹤翔山东大学

学位级别：硕士

随机最优控制问题的研究始于上世纪60年代中期,迄今已有半个多世纪的发展.目前绝大多数文献研究的是完备信息问题.在分析实际的工程系统时,很多系统信息极不容易获取到.因此不可避免地需要在不完备信息下做决策.数学上需要考虑不完备信... 详细信息

随机最优控制问题的研究始于上世纪60年代中期,迄今已有半个多世纪的发展.目前绝大多数文献研究的是完备信息问题.在分析实际的工程系统时,很多系统信息极不容易获取到.因此不可避免地需要在不完备信息下做决策.数学上需要考虑不完备信息下的随机最优控制问题.不完备信息的框架一般分为部分信息和部分可观测两种,前一种是后一种的特例.部分可观测的随机最优控制问题可以广泛应用于数理金融,信号处理,以及各种实际工程问题.在实际中,状态约束同样不可忽视.这是因为状态约束条件往往代表着控制系统的特定目标和需求.本文研究的是一种具有代表性的泛函型状态约束,即积分型状态约束.实际中常见的状态约束,如等式、不等式约束,还有区间约束等,这些约束皆可视为积分型约束的一种特殊情形.研究部分可观测随机控制问题的关键工具之一是Girsanov定理,该定理可以打破控制与观测之间的循环依赖,从而可以继续使用变分法.借助Clarke广义梯度和Ekeland变分可以处理积分型约束.相对于逐步趋于成熟的随机控制理论,机器学习则是最近几年才有了长足的发展并渗透到科学计算的方方面面.从抽象的观点来看,机器学习所处理的正是不完备信息下的优化问题.而这种优化模型和随机最优控制问题有着极为类似的结构.训练深度学习模型的关键是使用随机梯度下降法（SGD）最小化损失函数,而这个损失函数其实对应于随机最优控制问题中的代价泛函.正是基于这一点,即泛函型状态约束可以用来构造损失函数,可以使用深度学习的方法来直接研究随机最优控制问题.综上所述,本文主要研究内容如下:·通过最大值原理的方法研究部分可观测的带积分型约束的正倒向随机系统.借助Girsanov变换,凸变分,对偶技巧,Clarke广义梯度和Ekeland变分等工具证明随机最大值原理,即得到最优控制所满足的必要条件.在所证明的最大值原理中,还包含相应的横截条件.最后用一个简单例子解释所证明的理论结果.·利用状态约束构造出误差函数,设计一种求解随机最优控制问题的深度学习算法.因为目前还没有部分可观测的带积分型约束的正倒向随机最优控制问题的计算方法,所以本章的结果也是研究第二章数值算法的初步尝试.主要方法是假设HJB方程具有经典解,再进行适当的变换将其转化为fbsde.通过该fbsde设计深度神经网络,从而逼近最优控制.上述深度学习算法可以求解一大类随机最优控制问题.

关键词： fbsde 随机最大值原理不完备信息积分型约束深度学习

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两类随机控制方法的关系及其在金融中的应用研究

两类随机控制方法的关系及其在金融中的应用研究

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作者：颜冲山东大学

学位级别：硕士

本文主要利用最大值原理与动态规划原理研究了金融市场中满足递归效用函数的带终端限制的现金流估值问题。首先假设市场只有风险型和无风险型两种证券可供选择、委托人的效用函数满足双曲绝对风险厌恶函数(HARA),利用拉格朗日乘子法把... 详细信息

本文主要利用最大值原理与动态规划原理研究了金融市场中满足递归效用函数的带终端限制的现金流估值问题。首先假设市场只有风险型和无风险型两种证券可供选择、委托人的效用函数满足双曲绝对风险厌恶函数(HARA),利用拉格朗日乘子法把该问题转化成一个求解fbsde的随机投资组合优化问题。然后,分别用最大值原理和动态规划原理求解,得到最优策略,同时,将两种方法计算出的最优策略进行比较,得到了一致的结果。随后,证明了这两种解法中值函数V,广义哈密顿函数G以及伴随过程p,q,k满足的关系。最后,对得到的最优策略进行了数值模拟与分析,运用随机模拟的方法,通过Matlal作图,分析了各个参数对最优策略的影响。

关键词：随机控制最大值原理动态规划原理 fbsde 投资组合优化随机模拟

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一般完全耦合的正倒向随机系统最优控制的最大值原理

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湖北大学学报（自然科学版） 2002年第2期24卷 114-117,122页

作者：杜娟湖北大学数学与计算机科学学院湖北武汉430062

在推广的单调性条件下 ,运用对偶技巧得到了一般完全耦合的正倒向随机系统最优控制的最大值原理 ,描述该系统的正倒向随机微分方程扩散项都含有控制 ,并且倒向状态变量的终值是依赖于正向状态变量的随机函数 .

关键词：正倒向随机系统最大值原理随机微分方程 fbsde 最优控制

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Observability and Optimal Control Problems of Stochastic Switched Systems Based on Non-Cooperative Dynamic Games

Observability and Optimal Control Problems of Stochastic Swi...

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第37届中国控制会议

作者： Li Zhiya Liu Feng Center for Intelligent Systems and Renewable Energy School of Electronics and Information EngineeringBeijing Jiaotong University

This article studies the observability and optimal control problems of stochastic switched systems which is based on a non cooperative dynamic game theory involving one leader and multiple followers.Through the application of operators,duality of the system and the characteristics of the forward-backward stochastic differential equations（fbsde）,four equivalent observability criterions for the dual system of the modeled system are given.Meanwhile,it is proved that an optimization problem of the adjoint backward stochastic differential equation（BSDE） is equivalent to a norm optimal problem.

关键词： Non-Cooperative Dynamic Game Nash Equilibrium Stochastic Switched Systems fbsde Exact Observability Observability Inequality Optimal Control Problem

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