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一类离散可积系统的孤子解

吉林大学学报（理学版） 2020年第6期58卷 1303-1308页

作者：樊方成周冉闽南师范大学数学与统计学院福建漳州363000 吉林大学数学学院长春130012

利用darboux变换方法讨论一类离散可积系统.先从新的初始解出发,利用darboux变换给出方程的精确解,然后选择适当的参数,给出方程的1-钟型孤子解、1-扭结型孤子解、2-反钟型孤子解和周期解,并给出其图像,通过这些图像分析这些解的结构、... 详细信息

利用darboux变换方法讨论一类离散可积系统.先从新的初始解出发,利用darboux变换给出方程的精确解,然后选择适当的参数,给出方程的1-钟型孤子解、1-扭结型孤子解、2-反钟型孤子解和周期解,并给出其图像,通过这些图像分析这些解的结构、弹性与非弹性碰撞.

关键词：离散可积系统 darboux变换方法孤子解

几类非线性发展方程的Riemann-Hilbert问题及其解析解的特征研究

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几类非线性发展方程的Riemann-Hilbert问题及其解析解的特征研究

作者：彭卫琪中国矿业大学

学位级别：硕士

众所周知,对于一些现实生活中的物理现象以及工程上的一些应用,我们都可以用非线性发展方程来加以描述。本文我们主要采用darboux变换方法、Hirota双线性等方法分析几类非线性发展方程的孤子解、呼吸波解和怪波解等非线性波解。同时讨论... 详细信息

众所周知,对于一些现实生活中的物理现象以及工程上的一些应用,我们都可以用非线性发展方程来加以描述。本文我们主要采用darboux变换方法、Hirota双线性等方法分析几类非线性发展方程的孤子解、呼吸波解和怪波解等非线性波解。同时讨论了Riemann-Hilbert方法在可积系统领域中的应用,包括求解非线性薛定谔方程的多孤子解及解的长时间渐近行为。本文第一章我们主要介绍了孤立子理论、非线性微分方程的相关求解方法、Riemann-Hilbert方法在可积系统初值问题应用方面的历史发展及国内外研究现状。在第二章,我们考虑了对称的(2+1)维非局域非线性薛定谔方程、广义(2+1)维Nizhnik-Novikov-Veselov(NNV)方程、(3+1)维Boiti-Leon-MannaPempinelli(BLMP)方程。通过发展Hirota双线性方法,我们首次导出了这些方程的孤子解;紧接着对得到的孤子解进行长波极限展开,构造了它们有理解和半有理解。此外,我们使用相关数学软件模拟并分析了相关解的物理现象。在第三章,通过推广darboux变换,我们首次研究了具有非线性交替符号的耦合薛定谔方程的呼吸波解和高阶怪波解。通过调整谱参数,我们得到时间周期呼吸波和空间周期呼吸波。怪波解包括亮单峰双谷怪波和亮无谷怪波。此外,我们成功地展示了二阶怪波的不同类型分布。怪波的存在条件也被讨论。对于具有非线性交替符号的耦合薛定谔方程,我们得到一个有趣规律即在基带调制不稳定性存在的情况下,存在怪波解。最后我们还通过广义darboux变换,研究了一个高阶耦合非线性薛定谔方程的呼吸波和怪波。在第四章,Hirota方程的dn-周期怪波解被首次研究。我们以雅可比椭圆函数dn作为种子解,有趣的是该种子解在长波扰动下呈现调制不稳定。通过对Hirota方程的Lax对进行非线性化,成功地得到了相应的周期特征函数。基于这些周期特征函数,我们进一步构造了Lax对方程的解。再基于Hirota方程的darboux变换表示,我们最终成功地获得了方程周期波背景下的怪波解。在第五章,我们研究了可积三分量耦合非线性薛定谔方程。通过发展Riemann-Hilbert方法,首次分析了三分量耦合非线性薛定谔方程的正散射和逆散射问题,并成功导出了该方程的多孤子解。此外我们还通过图像模拟讨论了这些孤子的动力学行为。尤其在对二孤子的碰撞行为进行分析时,我们发现了一种新的双孤子碰撞现象,这在可积系统中是很少见的。在第六章,我们扩展了一个3×3矩阵值Riemann-Hilbert问题,成功解决了耦合的三五阶非线性薛定谔方程的初值问题。通过得到的3×3 Riemann-Hilbert问题的唯一解来表示耦合的三五阶非线性薛定谔方程的解,再根据Deift和Zhou开创的非线性最速下降方法,我们首次推导了纯反射情况下三五阶非线性薛定谔方程的显式长时间渐近行为。第七章我们基于双线性方法讨论了(2+1)维B-type Kadomtsev-Petviashvili(BKP)方程,首次构造了该方程的广义lump解、lumpoff解以及特殊的怪波解,并指出该怪波具有可预测性,这是一个新的且十分有趣的现象。接着借助扩展的同宿测试方法,我们研究了广义(2+1)维Caudrey-Dodd-Gibbon-Kotera-Sawada(CDGKS)方程的呼吸波、怪波。最后,结合待定系数法和符号计算的手段,我们成功的导出了带高阶奇偶项的非线性薛定谔方程的亮暗光孤子解。这些非线性波的传播特性也通过现代科学软件进行了模拟。本文最后一章做了全文总结及对未来研究工作的一些展望。

关键词：可积系统 Hirota方法 darboux变换方法非线性波解 Riemann-Hilbert方法长时间渐近行为

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几类高维非线性演化方程混合波解的研究

几类高维非线性演化方程混合波解的研究

作者：谭晓漫内蒙古师范大学

学位级别：硕士

众所周知,非线性演化方程在现实生活中占有很重要的地位,如在物理、数学、生物等多门学科中都具有广泛应用,因此非线性演化方程的求解问题变得至关重要.本文分别以(2+1)维Ito方程、(2+1)维变系数CDGKS方程、(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程... 详细信息

众所周知,非线性演化方程在现实生活中占有很重要的地位,如在物理、数学、生物等多门学科中都具有广泛应用,因此非线性演化方程的求解问题变得至关重要.本文分别以(2+1)维Ito方程、(2+1)维变系数CDGKS方程、(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程、(2+1)维KMN方程和(2+1)维非线性薛定谔方程为例,运用Hirota双线性方法、长波极限方法、符号计算方法和darboux变换方法求解了它们的一些精确解和混合波解.(1)利用Hirota双线性方法给出了(2+1)维Ito方程和(2+1)维变系数CDGKS方程所对应的双线性形式,再利用辅助函数构造了N-孤子解.基于N-孤子解,运用长波极限方法和对其参数取复共轭关系得到了两个高维方程的混合波解.(2)利用符号计算方法构造了(2+1)维海森堡铁磁自旋链方程的怪波解.通过等高线图,考察了所得怪波解的局域化特征.另外,求得了该方程的两类呼吸子解,即Ma呼吸子和Akhmediev呼吸子.(3)根据相容性条件得到了(2+1)维KMN方程和(2+1)维非线性薛定谔方程的Lax对.利用谱问题的非线性化引入了这两个高维非线性演化方程位势的约束.再通过构造Lax对的非周期解和darboux变换获得了两类周期怪波解,即分别为dn周期波和cn周期波背景下的怪波解.

关键词：混合波解精确解 Hirota双线性方法符号计算方法 darboux变换方法

一些非线性浅水波模型和复修正短脉冲系统中的非线性波

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一些非线性浅水波模型和复修正短脉冲系统中的非线性波

作者：赵丹内蒙古师范大学

学位级别：硕士

自然界中,非线性现象广泛存在,形式丰富内容多样,因此非线性科学研究成为一项重要且意义非凡的工作.自然界中的一些非线性现象可以通过非线性偏微分方程的精确解来理解和解释,因此寻求非线性偏微分方程的解成为许多专家学者的主要研究任... 详细信息

自然界中,非线性现象广泛存在,形式丰富内容多样,因此非线性科学研究成为一项重要且意义非凡的工作.自然界中的一些非线性现象可以通过非线性偏微分方程的精确解来理解和解释,因此寻求非线性偏微分方程的解成为许多专家学者的主要研究任务,也提出了许多求解方法.本文运用darboux变换方法,Hirota双线性方法和长波极限途径并借助数学软件Mathematica求解了一些非线性浅水波方程和复修正短脉冲系统,构造出多孤子解、多呼吸子解、高阶lump解和混合解等.第一章为绪论,介绍了本文的研究背景、研究方法的基本思想和具体求解步骤.第二章,根据一个3×3的谱矩阵构造了耦合Burgers方程、耦合KdV方程的Lax对和守恒律,然后运用darboux变换方法获得了这两个耦合方程的孤子解.运用darboux变换方法也求解了复修正短脉冲系统的孤子解、呼吸子解和怪波解.通过给修正短脉冲系统引入非局域变换,将修正短脉冲系统约化到非局域中,得到了非局域修正短脉冲方程的孤子解.第三章,运用Hirota双线性方法将（2+1）维Boussinesq方程和（2+1）维势YTSF方程分别转化为相应的双线性方程,再通过构造辅助函数得到了（2+1）维Boussinesq方程和（2+1）维势YTSF方程的多孤子解和多呼吸子解.在所得多孤子解的基础上再运用长波极限就可以得到高阶lump解.本文给出构造非线性偏微分方程的多孤子、多呼吸子和高阶lump的相混合解的一般辅助函数,给辅助函数的参数取合适的数值就可以得到这两个方程的混合解,并分析了混合波的动力学特征.最后总结全文,并展望了未来的研究工作。

关键词： darboux变换方法 Hirota双线性方法长波极限途径孤子解混合解

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几个非线性波方程的精确解和混合解

几个非线性波方程的精确解和混合解

作者：陈鑫内蒙古师范大学

学位级别：硕士

本文主要应用darboux变换方法,符号计算方法和Hirota双线性方法的简化形式研究了几个非线性波方程的精确解和混合解.具体工作如下:（1）给出了两个包含任意函数的五分量非线性系统,讨论了其Lax对和守恒律.应用darboux变换方法,获得了该... 详细信息

本文主要应用darboux变换方法,符号计算方法和Hirota双线性方法的简化形式研究了几个非线性波方程的精确解和混合解.具体工作如下:（1）给出了两个包含任意函数的五分量非线性系统,讨论了其Lax对和守恒律.应用darboux变换方法,获得了该系统约化的四分量反应扩散方程和四分量广义耦合m Kd V方程的精确解.利用数学软件Mathematica分别给出了这些解的图像.（2）应用符号计算方法,构造了一个新的复非线性波方程的加速怪波解.此加速怪波解中包含一个任意的函数q（x）,从而可以产生一些有趣的拓扑性质.通过数值模拟,系统地分析了扭结波-怪波、孤子-怪波和周期波-怪波的动力学行为.此外,构造了该复非线性波方程的Ma呼吸子解和Akhmediev呼吸子解.（3）应用Hirota双线性方法的简化形式,给出了（2+1）维Date-JimboKashiwara-Miwa（DJKM）方程和（3+1）维广义B型Kadomtsev-Petviashvili（g BKP）方程的N-孤子解.将长波极限应用于N-孤子解并选择N-孤子解参数的复共轭关系,构造出高维非线性方程的混合作用解,通过数值模拟系统地分析了混合解的动力学行为.

关键词：精确解混合解 darboux变换方法符号计算方法 Hirota双线性方法

基于计算机符号计算的WBK、变系数KdV等方程求解方法研究

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基于计算机符号计算的WBK、变系数KdV等方程求解方法研究

作者：詹岩北京邮电大学

学位级别：硕士

孤子理论在自然科学的各个领域里扮演着非常重要的角色。孤子理论一方面在量子理论、粒子物理、凝聚态物理、流体物理、等离子体物理和非线性光学等各个分支及数学、生物学、化学、通信等各自然科学领域得到了广泛的应用,另一方面极大... 详细信息

孤子理论在自然科学的各个领域里扮演着非常重要的角色。孤子理论一方面在量子理论、粒子物理、凝聚态物理、流体物理、等离子体物理和非线性光学等各个分支及数学、生物学、化学、通信等各自然科学领域得到了广泛的应用,另一方面极大地促进了传统数学理论的发展,从而孤子理论的研究引起了物理学家和数学家的极大兴趣。随着研究的深入和科学的发展,特别是非线性科学的日益繁荣,使得孤子理论进一步成熟,各国在这上面投入的人力物力也日益增加。这方面的研究论文和杂志也如雨后春笋般不断涌现,国际性的学术会议相继召开。如在英国牛津召开的“凝聚态物理中的非线性孤子结构和动力学会议”以及在哥德堡召开的“物理学中的孤子”会议。我国孤子理论的研究开始于20世纪70年代。当时杨振宁、李政道、陈省身教授等回国讲学时向国内同行介绍孤子理论的研究进展,并指出它的重要性。随后在中国科学院和国内部分高等学校相继开展了这方面的研究工作。曾于1980年在厦门和1986年在上海分别召开了小型讨论会,推动了孤子理论的研究活动。本文正是以非线性偏微分方程的理论为基础,研究了几种重要的求解方法,在符号计算基础上,对Whitham-Broer-Kaup(WBK)方程,变系数Korteweg-de Vries(KdV)方程,变系数Schrodinger方程等求解方法进行研究。本文章节及内容安排如下：第一章首先介绍孤子的发展史,孤子理论的研究现状和一些研究非线性物理方程的常用方法。第二章主要介绍研究生阶段学习的darboux变换,Lax对,Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)系统等知识。第三章具体介绍WBK方程及物理背景,利用规范变换方法建立WBK方程与AKNS系统下的一个方程之间的变换,对变换后的方程求解,通过变换关系得到原方程的解。第四章给出四种基本变换并介绍它们的性质,利用这些变换将变系数KdV,变系数Schrodinger等方程进行简化并得到相应方程的Lax对,BT等性质。

关键词：非线性偏微分方程解析解 darboux变换方法 B(a|¨)cklund变换规范变换