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chern-simons invariant and Conformal Embedding of a 3-Manifold

Acta Mathematica Sinica,English Series 2010年第1期26卷 25-28页

作者： Chiakuei PENG Zizhou TANG School of Mathematical Sciences Graduate University Chinese Academy of Sciences Beijing 100049 P. R. China School of Mathematical Sciences Laboratory of Mathematics and Complex Systems Beijing Normal University Beijing 100875 P. R. China

This note studies the chern-simons invariant of a closed oriented Riemannian 3-manifold M. The first achievement is to establish the formula CS（e） - CS（e） = degA, where e and e are two （global） frames of M, and A ： M → SO（3） is the ＂difference＂ map. An interesting phenomenon is that the ＂jumps＂ of the chern-simons integrals for various frames of many 3-manifolds are at least two, instead of one. The second purpose is to give an explicit representation of CS（e＋） and CS（e_）, where e＋ and e_ are the ＂left＂ and ＂right＂ quaternionic frames on M3 induced from an immersion M^3 → E^4, respectively. Consequently we find many metrics on S^3 （Berger spheres） so that they can not be conformally embedded in E^4.

关键词： chern-simons invariant Berger sphere conformal embedding

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