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一些阿贝尔积分零点个数的上界

一些阿贝尔积分零点个数的上界

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作者：孙中琴苏州大学

学位级别：硕士

本文考虑如下的第一型超椭圆积分J（h）=∫Γh α0+α1x+…+αg-1xg-1 dx,H（x,y）=y2/2+Ψ（x）,y其中Ψ（x）为多项式,αi为任意实常数（i = 0,1,2,...,g-1）,Γh为闭轨,Γh ∈ {（x,y）|H（x,y）=h,h1＜h＜h2}.记△=（h1,h2）={h∣H... 详细信息

本文考虑如下的第一型超椭圆积分J（h）=∫Γh α0+α1x+…+αg-1xg-1 dx,H（x,y）=y2/2+Ψ（x）,y其中Ψ（x）为多项式,αi为任意实常数（i = 0,1,2,...,g-1）,Γh为闭轨,Γh ∈ {（x,y）|H（x,y）=h,h1＜h＜h2}.记△=（h1,h2）={h∣H（x,y）=h包含闭轨).在本文的第一部分,我们提出了一种新的方法.利用这种方法在较弱的条件下证明了J（h）=α1J1（h）+α2J2（h）在区间△上至多一个零点,其中J1（h）=∫Γh f1（x）/y dx,J2（h）=∫Γh f2（x）/y dx,也就是证明J2（h）/J1（h）（J1（h）≠0）的单调性.作为应用,我们证明了当首次积分H（x,y）=y2/2+xb+1/b+1-xb/b+1/b（b+1）或y2/2+x2m/2m-x2m+1/2m+1时,J（h）=∫Γh α0+α1x/y dx 至多一个零点.另外,这种方法也可以处理如下积分J（h）= α1∫Γh f1（x）ydx+ α2∫Γh f2（x）y dx 的零点个数问题,相应的结论推广了前人的结果.在本文的第二部分,我们考虑J（h）=∫Γh α0f0（x）+α1f1（x）+α2f2（x）/y dx的孤立零点个数问题.若首次积分有如下形式H（x,y）=y2/2+ca（bx+c）,我们引入新的变换,有效地简化了计算.利用这个变换,我们得到一些新的结论,例如:考虑如下形式的首次积分H（x,y）= y2/2-α2β2/2x2 + α2β2 + 2α2β+ 2αβ2/3x3-2α+2β+1/6x6 +1/7x7-2α2β+2αβ2+α2+4αβ+β2/4x4 +α2+4αβ+β2+2α+2β/5 x5,当（i）α =β=0,（ii）α =β=1时,J（h）= ∫Γh α0+α1x+α2x2/y dx至多两个零点.

关键词：阿贝尔积分单调性 chebyshev性质超椭圆积分

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