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The distribution of the large partial quotients in continued fraction expansions

Science China Mathematics 2023年第5期66卷 935-956页

作者： Bo Tan Chen Tian Baowei Wang School of Mathematics and Statistics Huazhong University of Science and TechnologyWuhan 430074China

The existence of large partial quotients destroys many limit theorems in the metric theory of continued *** achieve some variant forms of limit theorems,a common approach mostly used in practice is to discard the largest partial quotient,while this approach works in obtaining limit theorems only when there cannot exist two terms of large partial quotients in a metric *** by this,we are led to consider the metric theory of points with at least two large partial *** precisely,denoting by[a1(x),a2(x),...]the continued fraction expansion of x∈[0,1)and lettingψ:N→R+be a positive function tending to in nity as n→∞,we present a complete characterization on the metric properties of the set,i.e.,E(ψ)={x∈[0,1):∃16 k̸=ℓ6 n,ak(x)>ψ(n),aℓ(x)>ψ(n)for in nitely many n∈N}in the sense of the Lebesgue measure(the borel-bernstein type result)and the Hausdor dimension(the Jarnik type result).The main result implies that any nite deletion from a1(x)+……+an(x)cannot result in a law of large numbers.

关键词： continued fraction Hausdor dimension borel-bernstein theorem

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