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Immersed Hypersurfaces in the Unit Sphere S^(m+1) with Constant blaschke eigenvalues

Acta Mathematica Sinica,English Series 2007年第3期23卷 533-548页

作者： Xing Xiao LI Feng Yun ZHANG Department of Mathematics He'nan Normal University Xinxiang 453007 He'nan P. R. China

For an immersed submanifold x ： M^m→ Sn in the unit sphere S^n without umbilics, an eigenvalue of the blaschke tensor of x is called a blaschke eigenvalue of x. It is interesting to determine all hypersurfaces in Sn with constant blaschke eigenvalues. In this paper, we are able to classify all immersed hypersurfaces in S^m＋1 with vanishing MSbius form and constant blaschke eigenvalues, in case （1） x has exact two distinct blaschke eigenvalues, or （2） m = 3. With these classifications, some interesting examples are also presented.

关键词： Moebius form blaschke eigenvalues blaschke tensor MSbius metric MSbius second fundamental form

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On the blaschke Isoparametric Hypersurfaces in the Unit Sphere

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Acta Mathematica Sinica,English Series 2009年第4期25卷 657-678页

作者： Xing Xiao LI Feng Yun ZHANG Department of Mathematics. He'nan Normal University Xinxiang 453007 P. R. China

Given an immersed submanifold x ： M^M → S^n in the unit sphere S^n without umbilics, a blaschke eigenvalue of x is by definition an eigenvalue of the blaschke tensor of x. x is called blaschke isoparametric if its Mobius form vanishes identically and all of its blaschke eigenvalues are constant. Then the classification of blaschke isoparametric hypersurfaces is natural and interesting in the MSbius geometry of submanifolds. When n = 4, the corresponding classification theorem was given by the authors. In this paper, we are able to complete the corresponding classification for n = 5. In particular, we shall prove that all the blaschke isoparametric hypersurfaces in S^5 with more than two distinct blaschke eigenvalues are necessarily Mobius isoparametric.

关键词： Mobius form blaschke eigenvalues blaschke tensor Mobius metric Mobius second fundamental form

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