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函数逼近论是现代数学的一个重要分支.它开始于十九世纪两个著名定理的建立,即1885年Weierstras s建立的连续函数可以用多项式逼近的定理和1859年Chebyshev提出的最佳逼近的特征定理.在上个世纪它得到了蓬勃发展,并成为了一门独立的学科.人们在对以用简单可计算函数逼近一般函数的基础上提出了一系列理论和方法,如最佳逼近、Fourier逼近、三角多项式逼近、代数多项式逼近、线性算子逼近、插值逼近、有理逼近、倒数逼近和Müntz逼近等等.随着越来越多复杂度问题和非线性问题的出现,在更广泛的空间中研究这一课题已成为历史的必然,本文所做的工作都是在ba空间中进行的,而ba空间恰是L p空间的推广.全文共分为四章. 第一章预备知识介绍了ba空间及其相关知识. 第二章Beta算子在ba空间中的逼近线性算子逼近在上个世纪得到了长足的发展,并逐渐形成了一套成熟的理论.其中Beta算子是一类重要的算子,广泛应用于逼近论中. 第一节中,首先证明了K -泛函和D-T光滑模的等价性,并借助于它们的等价性,在文献[4]﹑[6]的基础上,在ba空间中对一类函数给出了Beta算子逼近的特征刻画. 第二节在文献[8]、[9]的基础上,在ba空间中讨论了加Jacobi权的Beta算子的逼近问题,得到了Beta算子及其导数逼近的正、逆定理和逼近阶的特征刻画. 第三章ba空间中的插值逼近第一节参考了文献[15]、[17]的方法,对一类偶三角插值多项式算子进行了改进,首先在连续函数空间中讨论了改进后算子的收敛性和收敛阶,进一步在ba空间中考虑了修正的偶三角插值多项式收敛速度的估计. Grünwald插值算子的研究结果众多,多数以第一类、第二类Chebyshev多项式零点为插值结点组.第二节,利用L p( 1 ba范数之间的关系,借助于文献[3]中多项式最佳逼近的相关结果,用与文献[21]、[26]不同的估计方法,研究了以第二类Chebyshev多项式零点为插值结点组的拟Grünwald插值多项式在加权的ba空间中的收敛速度. 第四章ba空间中的有理逼近作为非线性逼近的一个重要而特殊的情形,有理函数逼近(即有理逼近),无论在实践还是应用中都有着重要的意义,其中Müntz有理逼近是一个比较新的课题,在这个领域仍有许多问题有待解决.众所周知,估计Müntz有理逼近的速度是一个非常困难的问题,这方面的成果也鲜见于刊物.2001年,王建力、虞旦盛在文献[32]中讨论了当∧={λ}为递增实数列,λ-λ≥Mn时,Sobolev函数类Wp在L ( p >1)空间中的逼近问题,以及有界变差函数类BV[ 0,1]在L1空间中的逼近问题.在此基础上,笔者讨论了当∧={λ}为递增实数列,λn +1-λn≥Mnα时, 12≤αba空间中的逼近问题,得到了两个逼近定理,从而使文献[32]中的结果得到了进一步的推广.

关键词： ba空间算子逼近插值逼近有理逼近

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