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Real zeros of the zero-dimensional parametric piecewise algebraic variety

Science China mathematics 2009年第4期52卷 817-832页

作者： LAI YiSheng WANG RenHong WU Jinming Department of Information and Computer Science Zhejiang Gongshang UniversityHangzhou 310018China Institute of mathematical Sciences Dalian University of TechnologyDalian 116024China

The piecewise algebraic variety is the set of all common zeros of multivariate splines. We show that solving a parametric piecewise algebraic variety amounts to solve a finite number of parametric polynomial systems containing strict inequalities. With the regular decomposition of semi-algebraic systems and the partial cylindrical algebraic decomposition method, we give a method to compute the supremum of the number of torsion-free real zeros of a given zero-dimensional parametric piecewise algebraic variety, and to get distributions of the number of real zeros in every n-dimensional cell when the number reaches the supremum. This method also produces corresponding necessary and sufficient conditions for reaching the supremum and its distributions. We also present an algorithm to produce a necessary and sufficient condition for a given zero-dimensional parametric piecewise algebraic variety to have a given number of distinct torsion-free real zeros in every n-cell in the n-complex.

关键词： piecewise algebraic variety partial cylindrical algebraic decomposition number of real zeros 14m15 14Q10 41A15 41A46 65D07 65D10

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