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分形L2(μM,D)空间中一类自仿测度的非谱性质

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分形L2(μM,D)空间中一类自仿测度的非谱性质

作者：仲明陕西师范大学

学位级别：硕士

本文主要研究了由具有一个参数紧支撑的博雷尔概率测度族构成的伯努利测度μλ(λ∈(0,1))的性质以及一类自仿测度的非谱性质.主要目标是针对给定的λ,考虑在L2(μλ)空间中的正交指数函数系的最大化与极大化;并且估计了特定数字集的正... 详细信息

本文主要研究了由具有一个参数紧支撑的博雷尔概率测度族构成的伯努利测度μλ(λ∈(0,1))的性质以及一类自仿测度的非谱性质.主要目标是针对给定的λ,考虑在L2(μλ)空间中的正交指数函数系的最大化与极大化;并且估计了特定数字集的正交指数函数的个数.本文的主要结果如下： (1)如果E(Γ)不是L2(μλ)空间的正交基,那么它有可能是L2(μλ)空间的最大正交系.通过对Γ和μλ零点的分析,利用数的8-进制表示,证明了E(pΓ(1/8))(p是奇数)是L2(μ/8)空间的最大正交指数函数系,并利用相似的方法将这个结论推广到更一般的结论,E(pΓ(1/(2n)))(n≥3, (p, n)= 1,1测度的非谱性质,联系到扩张整矩阵和数字集其中p1,p2,p3∈2Z+1,|pi|>1(i=1,2,3)的自仿测度μM,D是非谱测度.证明了在L2(μM,D)空间中的正交指数函数个数最多为4且4是最好估计. 本文的研究结果是在***,***,J.-***等人研究成果基础上进一步进行的改进和推广,对深入理解自仿测度的非谱性质有着十分重要的意义.

关键词：自仿测度非谱测度迭代函数系(IFS) 正交指数函数伯努利测度傅里叶变换

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一类平面自仿测度的非谱性研究

一类平面自仿测度的非谱性研究

作者：陈燕湖南大学

学位级别：硕士

Mandelbrot通过观察自然界中随处可见的“天空中的云彩”,“海岸线”,“山脉”等现象,在1975年提出了分形的概念.分形不仅在物理,化学,生物,地理以及经济学等社会科学有着广泛的应用,而且与数学紧密联系,传统的欧式几何主要研究规则的... 详细信息

Mandelbrot通过观察自然界中随处可见的“天空中的云彩”,“海岸线”,“山脉”等现象,在1975年提出了分形的概念.分形不仅在物理,化学,生物,地理以及经济学等社会科学有着广泛的应用,而且与数学紧密联系,传统的欧式几何主要研究规则的几何形体,自然界有众多的形状是不规则,支离破碎的,分形几何研究的便是这类形体.随着研究的深入,分形几何成为了一个数学重要的分支.它与数学其它分支的交叉研究日益加深,例如分形上的概率论,数论,调和分析,复分析等等.分形几何与调和分析交叉研究的一个轰动数学界的成果是:Jorgensen和Perdersen第一次发现了奇异非原子测度(四分Cantor测度)μ所对应的L2(μ)空间的函数可以Fourier展开(具有指数正交基EΛ={e2πi:λ∈Λ}).我们称具有以上性质的μ为谱测度,Λ为谱.这一惊人的发现吸引了众多数学家的关注,使分形上的Fourier分析研究成为当今数学研究的热点.在这篇论文中,我们研究一类自仿测度的谱性,考虑三元整数字集(?)(?)和二阶整数扩张矩阵 M∈M2(Z)满足 αη-βγ?3Z和det(M)∈3Z.设μM,D是M和D生成的自仿测度,我们主要研究μM,D的谱性.全文一共分为四章,具体安排如下:第一章主要介绍了自仿测度的谱和非谱测度的背景,最新动态,主要结果,创新点以及研究展望.第二章给出了自仿测度的相关知识,引理和命题.第三章,我们将数字集和矩阵进行分类:数字集分类成{Tn}n=14,矩阵分类成{Sm}m=14,分别见(1,5),(1.7).我们证明了如果a+d?3Z且存在n使得数字集D∈Tn和矩阵M?Sn,则μM,D为非谱测度.一个自然的问题是正交指数函数的个数是否有限?如果有限,确定最大个数.我们得到了L2(μM,D)空间至多包含3个正交指数函数,且个数3是最好的.第四章,如果a+d ∈ 3Z且存在n使得D∈Tn和M?Sn,则L2(μM,D)空间包含无穷多个正交指数函数,且μM,D为非谱测度.本文对数字集D和矩阵M进行了巧妙的分类,避免了对D和M穷举,改进了 μM,D的谱性研究方法.通过本文的研究,μM,D的谱性已经完整的解决,并且为高阶整数扩张矩阵和多元整数数字集谱性研究提供了一些思路.

关键词：自仿测度非谱测度正交指数函数

空间广义Sierpinski垫上某些自仿测度的非谱性质

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空间广义Sierpinski垫上某些自仿测度的非谱性质

作者：秦玲陕西师范大学

学位级别：硕士

自仿测度μM,D是否为谱测度一直是谱自仿测度理论中备受关注的问题.在空间Sierpinski垫中,前人主要就对角矩阵,上三角矩阵及一些特殊矩阵来研究其μM,D的谱性与非谱性,而对于更一般的整数扩张矩阵,要研究其自仿测度的谱性质还存在一定... 详细信息

自仿测度μM,D是否为谱测度一直是谱自仿测度理论中备受关注的问题.在空间Sierpinski垫中,前人主要就对角矩阵,上三角矩阵及一些特殊矩阵来研究其μM,D的谱性与非谱性,而对于更一般的整数扩张矩阵,要研究其自仿测度的谱性质还存在一定的难度.本文受前人思想的启发,探讨了一些更一般的矩阵下自仿测度μM,D的非谱性质.主要结果如下:第一部分,对于整数扩张矩阵M=[p1,p2,p3;p4,p5,p6;p7,p8,p9],这里M的所有特征值的绝对值都严格大于1,且pj∈ Z（j=1,2,…,9）,与数字集D={0,e1,e2,e3},这里e1,e2,e3为R3上的标准正交基,利用相似变换不改变自仿测度的谱性质这一事实,我们通过选择合适的可逆矩阵P将M转化为对角矩阵,从而解决了某些自仿测度的非谱性质.第二部分,对于上述数字集D,当矩阵M中已知三个零元素时,我们利用与第一部分类似的方法解决了部分自仿测度的非谱性质,这也是对前人成果的一个补充;当M=[p1,0,p1;0,p2,0;0,0,-p1]时,这里p1∈（2Z+1）\{±1},p2∈2Z非谱测度,我们主要通过分析零点集Z（μM,D）的元素特征,利用鸽笼原理,证明了此时的μM,D是非谱测度,且空间L2（μM,D）中至多有八个正交指数函数.

关键词：迭代函数系自仿测度非谱测度正交指数系

广义Sierpinski垫上正交指数函数的个数

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西南大学学报（自然科学版） 2011年第6期33卷 125-130页

作者：仲明姚海洪陕西师范大学数学与信息科学学院西安710062

联系到扩张整矩阵和数字集M=[p1p4p60p2p50 0p3 ]D={[000],[100],[010],[001]的自仿测度μM,D是非谱测度.其中pi∈2Z+1(i=1,2,3);pi∈Z且|pi|>1(i=4,5,6);p2|p4且p3|pi(i=5,6).证明了在L2(μM,D)空间上最多存在4个相互正交的指数函数且... 详细信息

关键词：迭代函数系自仿测度正交指数函数非谱测度

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L^2空间中的非谱问题

纺织高校基础科学学报 2010年第4期23卷 464-467页

作者：王美莲陕西师范大学数学与信息科学学院陕西西安710062

证明了与扩张矩阵M∈Mn(R),有限子集D Rn相关的自仿测度μM,D是由迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d∈D所惟一确定的,其中μM,D的非谱问题之一就是估计L2(μM,D)空间中指数正交系的个数并且找到它们.讨论了如果pi∈2Z+1,|pi|>1(i=1,2,3),p1 ... 详细信息

证明了与扩张矩阵M∈Mn(R),有限子集D Rn相关的自仿测度μM,D是由迭代函数系{φd(x)=M-1(x+d)}d∈D所惟一确定的,其中μM,D的非谱问题之一就是估计L2(μM,D)空间中指数正交系的个数并且找到它们.讨论了如果pi∈2Z+1,|pi|>1(i=1,2,3),p1 3,M=(p10 00p200 0p3),D=(000,100,l00)(l∈3Z+2,且l{0,1}),那么L2(μM,D)中至多存在3个指数正交系,而且数字3是最好的.

关键词：迭代函数系非谱测度指数正交系

广义Sierpinski垫上正交指数函数的个数

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纺织高校基础科学学报 2010年第3期23卷 336-340页

作者：仲明陕西师范大学数学与信息科学学院陕西西安710062

联系到一个扩张整矩阵和一个数字集M=〔p p1 0 0 p p2 0 0 p〕,D={〔0 0 0〕,〔1 0 0〕,〔0 1 0〕,〔0 0 1〕}的自仿测度μM,D是支撑在迭代函数系{Φd(x)=M-1(x+d)}d∈D关于广义三维Sierpinski垫的吸引子T(M,D)上,且被该吸引子所惟一确... 详细信息

联系到一个扩张整矩阵和一个数字集M=〔p p1 0 0 p p2 0 0 p〕,D={〔0 0 0〕,〔1 0 0〕,〔0 1 0〕,〔0 0 1〕}的自仿测度μM,D是支撑在迭代函数系{Φd(x)=M-1(x+d)}d∈D关于广义三维Sierpinski垫的吸引子T(M,D)上,且被该吸引子所惟一确定,其中p是奇数,p1,p2∈Z.利用M,D零集的性质,证明了在L2(μM,D)空间中最多存在4个相互正交的指数函数且4是最好估计.

关键词：迭代函数系(IFS) 自仿测度正交指数函数非谱测度

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平面上某些自仿测度下正交指数系的基数

平面上某些自仿测度下正交指数系的基数

作者：张新苗陕西师范大学

学位级别：硕士

设M为整数扩张矩阵,即M的所有特征值的模都大于1,M*为M的共轭转置,在前人研究的基础上,本文发现,将M*中的元素按模3或模4剩余类进行分类后,M*j（j ∈Z,j＞1）存在一定的规律,则对于平面上一些数字集D和扩张矩阵M所确定的自仿测度的Four... 详细信息

设M为整数扩张矩阵,即M的所有特征值的模都大于1,M*为M的共轭转置,在前人研究的基础上,本文发现,将M*中的元素按模3或模4剩余类进行分类后,M*j（j ∈Z,j＞1）存在一定的规律,则对于平面上一些数字集D和扩张矩阵M所确定的自仿测度的Fourier变换的零点可被简化,最后可讨论自仿测度μM,D的非谱性.本文得到以下结果:第一部分,研究平面上由整数扩张矩阵M与数字集D所确定的空间L2（μM,D）上正交指数系的基数,这里M满足det（M）（?）3Z,D=D1（?）PD1,其中将M*中的元素按模3剩余类分类之后,通过分析M*j（j ∈Z,j＞1）和自仿测度μM,D的Fourier变换的零点的特征,得出L2（μM,D）上至多存在9个相互正交的指数函数.第二部分,讨论由以下整数扩张矩阵和数字集决定的自仿测度μM,D的非谱性.将M*中的元素按模4剩余类分类后,当det（M）∈2Z+1时,得到相应的L2（μM,D）上正交指数系的基数为4或16,即μM,D为非谱测度.

关键词：自仿测度正交指数系数字集非谱性非谱测度

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几类自仿测度的正交指数函数的基数研究

几类自仿测度的正交指数函数的基数研究

作者：刘瑶湖南师范大学

学位级别：硕士

设μ为支撑在Rn上的Borel概率测度,若存在A C Rn使得EΛ={e2πi＜λ,x＞:λ∈Λ}为L2（μ）的正交基,则称μμ为谱测度,Λ为μ的谱,（μ,A）为谱对.我们知道自仿测度μM,D是由扩张矩阵M和有限数字集D唯一确定的.第一个自仿谱测度1/4-Can... 详细信息

设μ为支撑在Rn上的Borel概率测度,若存在A C Rn使得EΛ={e2πi＜λ,x＞:λ∈Λ}为L2（μ）的正交基,则称μμ为谱测度,Λ为μ的谱,（μ,A）为谱对.我们知道自仿测度μM,D是由扩张矩阵M和有限数字集D唯一确定的.第一个自仿谱测度1/4-Cantor测度由Jorgensen和Perdersen[13]给出.从此,关于支撑在分形集上的自仿测度是否为谱测度引起了广大数学家的讨论.本篇文章主要研究两类自仿测度的谱性问题,具体安排如下:第一章主要介绍了近些年来关于分形测度谱性问题的主要成果,以及本篇文章所需要的预备知识和本文的主要结果.第二章主要研究了在n维空间中,由实对角矩阵M=ρ-1I和满足条件ZDn（?）Emn,（ZDn-ZDn）\测度（?）ZDn（mod Zn）的数字集D生成的自仿测度μM,D的非谱问题,这里0＜|ρ|＜1,I为单位矩阵.我们得到了L2（μM,D）空间中具有无穷正交系的充要条件.同时,对于L2（μM,D）空间中只有有限多个正交指数函数的情形,我们研究了它的精确势.第三章主要研究了由扩张整矩阵M和平面四元数字集（?）生成的自仿测度μM,D的非谱问题,这里α1β2-α2β1≠0.当α1β2-α2β1（?）2Z时,我们给出了L2（μM,D）空间中具有无穷正交系的充要条件是det（M）∈2Z,且当det（M）（?）2Z时,我们证明了 L2（μM,D）空间中至多含有4个相互正交的指数函数.当α1β2-α2β1∈2Z,det（M）（?）2Z时,我们给出了L2（μM,D）空间中正交指数函数的势的估计,但没能给出精确势.

关键词：自仿测度非谱测度零点正交指数函数

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某些自仿测度下有限正交指数系的基数估计

某些自仿测度下有限正交指数系的基数估计

作者：刘佳惠陕西师范大学

学位级别：硕士

自仿测度μM,D是由仿射迭代函数系{φd(x)=M(x+d)}唯一确定,关于自仿测度有很多开放性的问题,很多学者主要关注在什么条件下μM,D是谱测度或者非谱测度.在前人研究的基础上,本文研究自仿测度的非谱性,估计出空间L(μM,D)正交指数函数系... 详细信息

自仿测度μM,D是由仿射迭代函数系{φd(x)=M(x+d)}唯一确定,关于自仿测度有很多开放性的问题,很多学者主要关注在什么条件下μM,D是谱测度或者非谱测度.在前人研究的基础上,本文研究自仿测度的非谱性,估计出空间L(μM,D)正交指数函数系的最佳个数并找出它们.得到如下研究结果:第一部分,讨论与扩张矩阵M=diag[p,p,p](p∈Z\{0,±1},j = 1,2,3)和数字集D = {0,e,e,e,e + e,e + e,e + e,e + e + e}所对应的自仿测度μM,D的谱性,这里e,e,e是空间R中的标准正交基.通过分析Fourier变换μM,D(ξ)的零点集Z(μM,D)的特征,证明当p∈2Z + 1\{0,± 1}(j = 1,2,3)时,μM,D是非谱测度,空间L2(μM,D)中正交指数函数系至多包含“8”个元素,且数字“8”是最佳的.第二部分,针对平面上一类特定的四元素数字集D,研究μM,D-正交指数函数的个数问题.将矩阵M用模8的剩余类分类,我们可以将M*写成M*= 8(?)+(?)γ,β,α,当det(M)∈2Z + 1时,给出空间L(μM,D)正交指数函数系的个数.

关键词：自仿测度非谱测度正交指数函数系数字集