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作者：杨敏波浙江师范大学

学位级别：硕士

这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果。在第二章我们首先考虑以下非线性Schr(?)dinger方程 -△u=V(x)u+f(u),u∈H(R) (1)的非平凡解的存在。其中N≥3,f(s)∶R→R是连续非线性函数,而V(x)在R上是不定的。 ... 详细信息

这篇硕士论文集中了作者在攻读硕士学位期间的主要研究成果。在第二章我们首先考虑以下非线性Schr(?)dinger方程 -△u=V(x)u+f(u),u∈H(R) (1)的非平凡解的存在。其中N≥3,f(s)∶R→R是连续非线性函数,而V(x)在R上是不定的。利用上述问题的极限问题的一些结果,结合Lions的集中紧性原理,我们讨论了问题(1)非平凡解的存在性。在这里我们所讨论的非线性项f(s)不再满足经典的AR条件,也不具有一般的超线性性质,我们讨论f(s)是有界情形的问题。我们注意到这类问题与讨论特征值问题时一类渐近情形相关,也可看作Szulkin-Willem的特征值问题的一个摄动问题。在第三章我们研究无界域上具Hardy临界指数项的半线性椭圆方程的多解存在性。考虑如下方程通过研究如下特征值问题, 我们证明问题(2)所对应的能量泛函满足局部(P.S)条件,然后结合指标理论在(P.S)条件满足处构造极小极大值,证明多解的存在性。在第四章,我们考虑一个与问题(2)相关的无界域上具Hardy临界指数项的半线性椭圆方程的共振与非共振问题,即

关键词：非线性schrodinger方程集中紧性原理 Hardy临界指数山路引理鞍点定理局部(P.S)条件椭圆共振问题

带奇异项和Sobolev临界指数项的椭圆边值问题

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带奇异项和Sobolev临界指数项的椭圆边值问题

作者：邓志颖云南师范大学

学位级别：硕士

本文讨论如下边值问题的可解性：其中(N≥3)是一个有界光滑区域，0∈Ω，1＜p＜N，△u:=div(|▽u|▽u)是p-Laplazian，p=Np／(N-p)是Sobolev临界指数，μ∈R是一个参变量，f(x，u)：Q×R→R是满足一定条件的函数。这个方程的特点是：在... 详细信息

本文讨论如下边值问题的可解性：其中(N≥3)是一个有界光滑区域，0∈Ω，1＜p＜N，△u:=div(|▽u|▽u)是p-Laplazian，p=Np／(N-p)是Sobolev临界指数，μ∈R是一个参变量，f(x，u)：Q×R→R是满足一定条件的函数。这个方程的特点是：在原点0具有奇性，并且含有Sobolev临界指数项。当p=2时，已有一些文章研究(Q)2类边值问题(见[1，2，3]及其中的参考文献)。例如，在文[1]中，***和***早在1983年就研究了在μ=0，f(x，u)=λu情形下边值问题(Q)正解的存在性问题，指出该问题解的存在性与空间的维数以及参变量λ的值有关(见[1]);1999年，***在文[2]中讨论了当，f(x，u)=λu，μ＜(?)=((N-2)/2)，0＜λ＜λ(μ)时，(Q)正解的存在性与非存在性问题，其中λ(μ)是线性算子(I为恒等算子)在Dirichlet零边值条件下的第一特征值(见[2])，把文[1]中相应的结果推广到了μ≠0的情形;2001年，***和***在文[3]中在条件0≤μ＜(?)，f(x，u)=λu，λ＞0下获得了(Q)非平凡解的存在性结果，同时他们还考察了更一般的情形：0≤μ＜(?)，f(x，u)=g(x，u)，其中g(x，u)：Ω×R→R是满足一定条件的函数，并且获得了一些好的结果，在文献[3]中作者还提出了一个开问题：当μ＜0时，(Q)是否还存在非平凡解(见[3，p．519])? 当1＜p＜N，p≠2时，对拟线性椭圆边值问题(Q)的研究，目前还只有两种情形下的结果：ⅰ) f(x，u)≡0。此时若Ω是星形区域，则边值问题(Q)无非平凡解(见[6，7，16]);ⅱ) μ=0，此时(Q)不带奇异项，(Q)非平凡解的存在性与扰动项f(x，u)有关(参看[5，20])。本文应用与文[1，2，3]不同的方法获得了边值问题(Q)正解的存在性结果，其中对文[3]中开问题的情形给出了部分回答。同时，本文还应用Hardy不等式和变分方法以及***的集中紧性原理(参看[8])获得了边值问题(Q)在p＞1和情形下非平凡解的存在性结果，这种情况的边值问题据我们所知还未研究过(p=2时的情形除外)。

关键词：正解 Hardy不等式 sobolev-Hardy不等式山路引理集中紧性原理变分方法

外区域上椭圆方程组Neumann问题解的存在性研究

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外区域上椭圆方程组Neumann问题解的存在性研究

作者：邓圣兵江西师范大学

学位级别：硕士

本文主要研究外区域上半线性椭圆方程组Neumann问题解的存在性。在第一章中,我们综述了有关半线性椭圆型方程与方程组研究的背景与已有的研究结果,并简单叙述了本文的研究工作。在第二章中,我们给出了一些基本定义与引理。在第三章中... 详细信息

本文主要研究外区域上半线性椭圆方程组Neumann问题解的存在性。在第一章中,我们综述了有关半线性椭圆型方程与方程组研究的背景与已有的研究结果,并简单叙述了本文的研究工作。在第二章中,我们给出了一些基本定义与引理。在第三章中,我们主要在外区域上研究了半线性椭圆型方程组解的存在性。其中Ω是R中的有界光滑区域,Ω = R \Ω,且Ω没有有界分支;λ,μ≥0是参数,α,β> 1满足α+β= 2*, (N≥3)表示临界Sobolev指数;ν是边界(?)Ω上的内法向量;Q(x)是H¨older连续函数,Q(x) > 0,(?)x∈Ω.本文主要研究边界的平均曲率与系数Q(x)的性态对解存在性的影响,利用集中紧性原理得到问题(1)存在低能量解。本文的主要结果已经发表于Electronic Journal ofDi?erential Equations 2008(2008), No. 153, pp. 1-13。

关键词：椭圆方程组 Neumann问题临界指数集中紧性原理解的存在性

一类分数阶Schr(?)dinger方程组解的存在性

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一类分数阶Schr(?)dinger方程组解的存在性

作者：周刚华中科技大学

学位级别：硕士

本文研究一类分数阶非线性Schr(?)dinger方程组非平凡解的存在性问题,方程组如下所示:(―△)s1u+V1(x)u = f1(u)+λ(x)v,x ∈Ω,(-△)s2v+V2(x)v=f2(v)+λ(x)u,x ∈Ω,u=0,v =0,x∈RN\Q.其中,(-△)s为分数阶拉普拉斯算子,02.势能V1,V2在上有正的下界和上界.耦合函数λ:RN→满足:|λ(x)|≤δ(?),δ∈(0,1).非线性项fi,f2满足次临界增长条件.本文研究了为有界域和RN时,该方程组非平凡解的存在性问题.全文结构如下:第一章,首先介绍本文所涉问题的研究背景和研究现状,然后介绍了本文研究的内容和主要结论.第二章,介绍本文所需要的基础知识,包括分数阶Sobolev空间理论和分数阶拉普拉斯算子的相关知识,以及变分法理论的基础知识.第三章,在Ω为有界区域的情况下,我们采用了Cerami序列版本的山路引理,得到了原方程组的一个Cerami序列,并验证了所得到的Cerami序列的有界性.进一步,我们利用有界域上Sobolev嵌入的紧性,得到了原方程组的一组非平凡弱解.第四章,在Ω为全空间的情况下,我们利用集中紧性原理,研究了原方程组非平凡解的存在性问题,得到了原方程组的一组非平凡弱解.第五章,主要介绍本文研究问题的一些展望,主要涉及到非线性项的增长条件,势能函数的种类,方程定义的区域和解的正则性.

关键词：分数阶Schr(?)dinger方程组非平凡解集中紧性原理变分法山路引理

Schr（?）dinger-Poisson系统束缚态和规范化解的存在性

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Schr（?）dinger-Poisson系统束缚态和规范化解的存在性

作者：孙霞太原理工大学

学位级别：硕士

近年来,分数阶微分方程广泛地运用于物理,化学,博弈论,最优控制,图像处理和金融数学等众多领域,对这类方程相关问题的研究自然成为前沿热点研究问题之一.本文利用变分法,拓扑方法以及集中紧性原理,证明了分数阶Schr（?）dinger-Poisson... 详细信息

近年来,分数阶微分方程广泛地运用于物理,化学,博弈论,最优控制,图像处理和金融数学等众多领域,对这类方程相关问题的研究自然成为前沿热点研究问题之一.本文利用变分法,拓扑方法以及集中紧性原理,证明了分数阶Schr（?）dinger-Poisson系统束缚态解和规范化解的存在性.主要贡献是将整数阶的结果推广到分数阶情形,改进了相应的研究结果,在一定程度上丰富了分数阶微分方程的理论.主要研究内容如下:第一部分研究分数阶Schr（?）dinger-Poisson系统（?）正束缚态解的存在性,其中s ∈（3/4,1）,t ∈（o,1）,2s*=6/3-2s,位势V（x）和K（x）满足合适的假设.首先在变分框架下将其束缚态解转化为泛函限制在Nehari流形上的临界点,然后引入非局部Yamabe问题证明了不存在基态解,最后通过构造环绕结构,结合拓扑方法和形变引理证明了正束缚态解的存在性.第二部分研究分数阶Schr（?）dinger-Poisson系统（?）规范化解的存在性,其中s ∈（3/4,1）,p ∈[2,4/3s+2],lM ∈ R,（?）,首先在变分框架下将其规范化解转化为约束极小化问题的极小元,然后通过伸缩变换把IM当作一个关于M的函数,利用集中紧性原理证明了参数p在不同取值范围内极小元的存在性与不存在性.

关键词：分数阶Schr(?)dinger-Poisson系统变分法拓扑方法集中紧性原理束缚态解规范化解

具有临界非线性项的基尔霍夫型方程解的存在性和多重性

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具有临界非线性项的基尔霍夫型方程解的存在性和多重性

作者：冷诗扬吉林大学

学位级别：硕士

本文主要应用变分法研究了两类具有临界非线性项的Kirchhoff型方程,在适当的条件下,分别获得了非平凡解的存在性和多重性.本文共分四章.第一章主要介绍近代变分法及Kirchhoff型问题的研究背景及意义,并简要介绍了本文问题的提出和主要工... 详细信息

本文主要应用变分法研究了两类具有临界非线性项的Kirchhoff型方程,在适当的条件下,分别获得了非平凡解的存在性和多重性.本文共分四章.第一章主要介绍近代变分法及Kirchhoff型问题的研究背景及意义,并简要介绍了本文问题的提出和主要工作.第二章给出相关的预备知识.第三章考虑如下具有p调和算子的四阶Kirchhoff型方程的解的存在性,其中Ω是RN中具有C2边界的有界区域,N ≥ 2,△是拉普拉斯算子,(?)是外法向导数,λ是正参数,f:Ω×R→R是Cartedory函数,p**是临界指数,即,其中p∈(2,+∞).基于Kajikiya提出的对称山路引理和Lions的集中紧性原理,我们得到如下结论:存在λ*>0,使得对于所有λ∈(0，λ*),问题(1)有一列非平凡解{un},且当n→+∞时,un→0.第四章我们研究如下四阶Kirchhoff型椭圆方程的解在全空间上的存在性和多解性其中常数a,b>0,2**=2N/N-4是Sobolev临界指数,k(x)∈Lr(RN),r=2**/2**-q,α和β是实参数,N≥5.通过利用Lions第二集中紧性原理和无穷远处的集中紧性原理来证明局部(PS)c条件成立,利用极小极大方法和Krasnoselski亏格理论,我们得到了解的多重性.

关键词：基尔霍夫型方程变分方法山路引理极小极大方法集中紧性原理

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RN上某些半线性椭圆方程与方程组的多解

RN上某些半线性椭圆方程与方程组的多解

作者：陈瑜福建师范大学

学位级别：硕士

这篇硕士论文主要研究了RN上两类半线性椭圆方程与一类半线性椭圆方程组的多重解,主要运用了变分学中的基本方法,如极小极大原理,Nehari流形以及集中紧性原理等。首先,本文考虑了如下一类半线性椭圆方程的多解问题：其中V(x)可能改变符... 详细信息

这篇硕士论文主要研究了RN上两类半线性椭圆方程与一类半线性椭圆方程组的多重解,主要运用了变分学中的基本方法,如极小极大原理,Nehari流形以及集中紧性原理等。首先,本文考虑了如下一类半线性椭圆方程的多解问题：其中V(x)可能改变符号,利用对称山路引理,我们得到了方程(P1)的无穷多解。其次,我们考虑的是一类非齐次半线性椭圆方程的多解问题：通过运用山路引理和集中紧性原理,我们得到方程(P2)至少有两个正解。最后,我们探讨了一类半线性椭圆方程组：通过Nehari流形的分解以及集中紧性原理,我们得到方程组(Eλ，μ)至少有两个非平凡非负解。本文共分为五章：第一章,介绍上述椭圆方程与方程组的研究背景。第二章,介绍Sobolev空间的一些基本知识,基本引理以及一些记号说明。第三章,讨论一类半线性椭圆方程无穷多解的存在性。第四章,讨论一类非齐次半线性椭圆方程在没有AR条件下的多解问题。第五章,利用Nehari流形的技巧对半线性椭圆方程组获得多解。

关键词：半线性椭圆方程半线性椭圆方程组山路引理对称山路引理 Nehari流形集中紧性原理 PS方法多解正解非平凡解

分数阶Choquard型薛定谔方程组基态解的存在性研究

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分数阶Choquard型薛定谔方程组基态解的存在性研究

作者：吴晓凡辽宁工程技术大学

学位级别：硕士

Choquard型薛定谔方程是一类重要的椭圆型偏微分方程,它不仅在数学领域有着重要的理论意义,也在物理学中有着广泛的应用。近些年,在Choquard方程解的存在性、多解性以及其他性质方面,众多数学工作者取得了大量的研究成果,而本文研究了... 详细信息

Choquard型薛定谔方程是一类重要的椭圆型偏微分方程,它不仅在数学领域有着重要的理论意义,也在物理学中有着广泛的应用。近些年,在Choquard方程解的存在性、多解性以及其他性质方面,众多数学工作者取得了大量的研究成果,而本文研究了一类带有非周期势的分数阶Choquard型薛定谔方程组基态解存在性问题。本文首先应用Ekeland变分原理证明了泛函在Nehari流形上有一个Palais-Smale序列,然后利用集中紧性原理克服了该序列在(?)上紧性缺失的问题,从而得到基态解的存在性,即在对势函数合理的假设条件下,分别证明了基态解的存在与不存在。本文的创新点在于首次提出了对一类带有非周期势的分数阶Choquard型薛定谔方程组基态解的存在性研究,并且与已有的Choquard方程组相比较,本文研究的方程组是带有势函数的。对这类问题的研究不仅能拓展非线性分析的基础理论,也能促进数学学科与其它学科的交叉应用。该论文有参考文献66篇。

关键词：薛定谔方程 Choquard方程组集中紧性原理 Nehari流形基态解存在性

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两类强不定问题的无穷多小能量解

两类强不定问题的无穷多小能量解

作者：谷龙江兰州大学

学位级别：硕士

本文主要运用变分法和临界点理论研究了两类强不定问题无穷多小能量解的存在性.通过选取合适的空间并构造适当的泛函,利用了针对于强不定问题的广义喷泉定理的对偶形式得到泛函临界点的存在性,从而建立了强不定问题小能量解的存在性准则... 详细信息

本文主要运用变分法和临界点理论研究了两类强不定问题无穷多小能量解的存在性.通过选取合适的空间并构造适当的泛函,利用了针对于强不定问题的广义喷泉定理的对偶形式得到泛函临界点的存在性,从而建立了强不定问题小能量解的存在性准则.首先介绍了本文研究问题的背景和出发点,以及目前的进展情况,给出了本文要研究的问题,处理问题的思路,和相关预备知识.然后我们研究了如下具有周期外势和凹-凸非线性项的薛定谔方程无穷多小能量解的存在性.当权函数具有足够衰减性的时候证明了(PS)条件.如果权函数的衰减性较差,则利用集中紧性原理得到解的非平凡性.运用广义喷泉定理的对偶形式给出了此问题无穷多个小能量解存在的充分条件.最后考虑了如下一阶哈密顿系统无穷多小能量同宿轨的存在性其中且H具有如下形式的情形不同于已有文献,我们的非线性项依然带有一个衰减的权.运用广义喷泉定理的对偶形式给出了此问题存在无穷多小能量同宿轨的充分条件.

关键词：薛定谔方程哈密顿系统变分法临界点理论解同宿轨存在性紧性广义喷泉定理集中紧性原理

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非线性薛定谔泊松方程解的存在性

非线性薛定谔泊松方程解的存在性

作者：谭新艳湖南师范大学

学位级别：硕士

本文利用山路引理和集中紧性原理,讨论两类非线性薛定谔泊松方程及解的存在性.本文的具体安排如下：第一章是绪论,主要介绍了该问题产生的背景和研究现状.第二章是预备知识,主要介绍了本文将要用到偏微分方程中的一些基本知识.第三章讨... 详细信息

本文利用山路引理和集中紧性原理,讨论两类非线性薛定谔泊松方程及解的存在性.本文的具体安排如下：第一章是绪论,主要介绍了该问题产生的背景和研究现状.第二章是预备知识,主要介绍了本文将要用到偏微分方程中的一些基本知识.第三章讨论了第一类方程当V,K是正常数,(?)＜q≤2,2＜p＜5的情形,通过限制泛函在径向函数的自然约束下,使得嵌入紧性成立,从而得到上述方程有一个基态解(u,Φ);当y为非常数位势,K为正常数时,(?)＜q≤2,3＜p＜5,且对V进行一定的限制,利用集中紧性原理,证明紧性成立,上述方程也存在一个基态解(u,Φ).第四章讨论了第二类方程参数λ＞0,V,K不一定是径向对称,对V,K,f加一定的条件,运用山路引理,证明方程当λ足够小,有一个正解;当λ充分大时,只有平凡解.

关键词：薛定谔泊松方程基态解存在性集中紧性原理山路引理