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一类随机微分方程数值方法的稳定性分析

一类随机微分方程数值方法的稳定性分析

作者：梁帆中南大学

学位级别：硕士

随机微分方程作为一种数学模型,几乎在物理、工程、生物和金融等每个领域都发挥着突出的作用,所以对随机微分方程本身及其解性质的研究就显得十分重要。但在大多数情况下,随机微分方程解的精确表达式是无法得到的,只有满足一些特殊条件... 详细信息

随机微分方程作为一种数学模型,几乎在物理、工程、生物和金融等每个领域都发挥着突出的作用,所以对随机微分方程本身及其解性质的研究就显得十分重要。但在大多数情况下,随机微分方程解的精确表达式是无法得到的,只有满足一些特殊条件的随机微分方程,才能得到精确解。因此,深入研究算法的构造,并对其做理论分析以达到求解随机微分方程的目的就显得尤为重要。本文首先综述了随机微分方程数值解研究的发展情况和研究现状,并详细介绍了在随机θ方法和分裂步单支θ方法的稳定性研究上已经取得的成果。其次,针对非线性非自治随机微分方程,在扩散项系数和漂移项系数满足耦合单调条件的情况下,对随机θ方法进行了均方稳定和指数均方稳定性分析。证明了当θ∈[1/2,1]时,对于所有正步长,随机θ方法完全保持了非线性非自治随机微分方程的均方稳定性;当θ∈[0,1/2)时,对于充分小的步长,随机θ方法是具有均方稳定性的。而对于充分小的步长,随机θ方法是具有指数均方稳定性的。然后,针对非线性自治随机微分方程,在扩散项系数和漂移项系数满足耦合单调条件的情况下,对分裂步单支θ方法进行了指数均方稳定性分析,证明了当θ∈[1/2,1]时,对于所有正步长,分裂步单支θ方法完全保持了非线性自治随机微分方程的指数均方稳定性,当θ∈[0,1/2)时,对于充分小的步长,分裂步单支θ方法是具有指数均方稳定性的。图6幅,表0个,参考文献60篇。

关键词：随机微分方程随机θ方法分裂步单支θ方法指数均方稳定均方稳定

利用带有改进算子矩阵的模块脉冲函数求非线性随机微分方程数值解

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应用数学 2023年第4期36卷 1059-1068页

作者：姜国刘富钢陈丹湖北师范大学数学与统计学院湖北黄石435002

本文介绍基于改进算子矩阵的模块脉冲函数求解非线性随机微分方程的有效数值方法.利用模块脉冲函数的积分算子矩阵将非线性随机积分方程转化为代数方程.此外,我们进行了误差分析,并证明该方法收敛更快.最后,通过数值算例对该方法进行了... 详细信息

本文介绍基于改进算子矩阵的模块脉冲函数求解非线性随机微分方程的有效数值方法.利用模块脉冲函数的积分算子矩阵将非线性随机积分方程转化为代数方程.此外,我们进行了误差分析,并证明该方法收敛更快.最后,通过数值算例对该方法进行了验证.

关键词：随机微分方程改进算子矩阵模块脉冲函数

带有Stepanov概周期系数的无穷维随机微分方程的θ-概周期解

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山东大学学报（理学版） 2023年第6期58卷 113-126页

作者：陈叶君丁惠生江西师范大学数学与统计学院江西南昌330022 江西省应用数学中心江西南昌330022

基于Raynaud de Fitte的最新工作,本文考虑了带有Stepanov概周期系数的无穷维随机微分方程dX(t)=AX(t)dt+F(t,X(t))dt+G(t,X(t))dW(t)的概周期性。在更弱的条件下(A生成的C0半群不必是压缩的,F、G是Stepanov概周期而不必是概周期的),我... 详细信息

基于Raynaud de Fitte的最新工作,本文考虑了带有Stepanov概周期系数的无穷维随机微分方程dX(t)=AX(t)dt+F(t,X(t))dt+G(t,X(t))dW(t)的概周期性。在更弱的条件下(A生成的C0半群不必是压缩的,F、G是Stepanov概周期而不必是概周期的),我们得到了该方程的θ-概周期解的存在性和唯一性,并且证明了该解是依路径分布概周期的。

关键词：概周期 θ-概周期 Stepanov概周期依分布随机微分方程

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一类平均场随机微分方程的遍历性

应用概率统计 2023年第6期39卷 897-906页

作者：刘瑶谢颖超张梦鸽江苏师范大学数学与统计学院徐州221116

本文研究了一类一维带平均场的非时齐随机微分方程.在一定条件下,我们证明了方程唯一解的遍历性.进一步地,当平均场强度趋于0时,我们还证明了方程的解和平稳分布分别几乎一致、依Wasserstein距离收敛于相应无平均场方程的解和平稳分布.

关键词：随机微分方程分布依赖平均场遍历性平稳分布

分数布朗运动驱动的随机微分方程的辛算法和有效扩散系数

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分数布朗运动驱动的随机微分方程的辛算法和有效扩散系数

作者：陈蓉苏州大学

学位级别：硕士

分数布朗运动具有自相似性和非Markov性两个重要性质,是许多自然现象和社会现象的内在特性。21世纪前后,各类学科(尤其是金融、物理、控制理论和生物)中出现了一些新的数学模型,这些模型是由分数布朗运动驱动的随机微分方程所刻画的。... 详细信息

分数布朗运动具有自相似性和非Markov性两个重要性质,是许多自然现象和社会现象的内在特性。21世纪前后,各类学科(尤其是金融、物理、控制理论和生物)中出现了一些新的数学模型,这些模型是由分数布朗运动驱动的随机微分方程所刻画的。对于分数布朗运动驱动的随机微分方程,其解的存在唯一性问题以及解的相关性质的研究已经很成熟。关于标准布朗运动驱动的随机微分方程,有学者就其有效扩散系数以及渐近性质的研究分别在理论和数值上给出了结论。本文基于标准布朗运动驱动的随机微分方程的研究,猜想分数布朗运动驱动的随机微分方程也有类似的性质和理论。辛算法使离散后的差分方程保持原有系统的辛结构,具有长时稳定性和跟踪能力的良好性质。于是本文首先从二阶隐式中点法出发,提出了一种更一般的辛算法,它在数值上既能求解标准布朗运动驱动的随机微分方程,也能求解分数布朗运动驱动的随机微分方程。其次分别以二维和三维Taylor-Green 速度场为例,在数值上证明了关于分数布朗运动驱动的随机微分方程,其有效扩散系数的存在性和渐近结果。同时分别利用辛算法和Euler法计算有效扩散系数,发现辛算法可以模拟有效扩散系数在分子扩散系数趋于0时的渐近性质,而Euler法不可以。最后比较了二维和三维情况下,不同的Hurst参数在利用辛算法求解分数布朗运动驱动的随机微分方程以及计算其有效扩散系数时产生的影响。

关键词：分数布朗运动随机微分方程辛算法有效扩散系数

α-稳定过程驱动的随机微分方程的谱配置方法

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α-稳定过程驱动的随机微分方程的谱配置方法

作者：邢卓上海师范大学

学位级别：硕士

本文主要研究了用谱配置方法来求解由稳定过程驱动的随机微分方程.该方法将原有的问题转化为矩阵问题进行处理,在计算上明显优于有限差分方法.进一步地,本文将该方法应用于带有时滞项的一类随机微分方程中. 本文主要研究内容与结论如下... 详细信息

本文主要研究了用谱配置方法来求解由稳定过程驱动的随机微分方程.该方法将原有的问题转化为矩阵问题进行处理,在计算上明显优于有限差分方法.进一步地,本文将该方法应用于带有时滞项的一类随机微分方程中. 本文主要研究内容与结论如下: 首先我们提出了一类谱配置方法来数值逼近由稳定过程驱动的随机微分方程.在这一类随机微分方程中,漂移项和扩散项满足全局Lipschitz,我们证明了数值方法的强收敛性,随后通过采用不同的配置节点,我们进行数值仿真以验证所提出的方法优于经典方法. 进一步地,本文又研究了由稳定过程驱动的随机时滞微分方程.在研究处理时滞问题的谱配置方法时,我们给出了具体格式,同时也进一步证明方法的收敛性.最后针对具体方程通过一系列参数设置来验证方法的可行性.

关键词：谱配置方法随机微分方程 α-稳定过程强收敛性随机时滞微分方程

分段连续型随机微分方程Milstein方法收敛性和稳定性的研究

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分段连续型随机微分方程Milstein方法收敛性和稳定性的研究

作者：赵博文哈尔滨工业大学

学位级别：硕士

随机微分方程(SDEs)普遍应用于经济学、控制理论、生物学等各个领域,其精确解性质的研究有着应用价值和理论研究意义。通常情况下,方程的精确解不易解得,或其表达式过于复杂,为避免直接对方程求解,利用数值方法近似精确解是重要的解决... 详细信息

随机微分方程(SDEs)普遍应用于经济学、控制理论、生物学等各个领域,其精确解性质的研究有着应用价值和理论研究意义。通常情况下,方程的精确解不易解得,或其表达式过于复杂,为避免直接对方程求解,利用数值方法近似精确解是重要的解决方法之一。因系统的未来状态不仅依赖当前的状态,还与过去的某些状态有关,则可利用随机延迟微分方程(SDDEs)进行建模。分段连续型随机微分方程(SDEPCAs)是一类SDDEs。近年来,该方程逐渐受到关注,如模拟神经网络系统、设计离散时间反馈控制器、描述生物种群生态系统等。因实际问题模型多数较复杂,无法给出其精确解,用数值方法去近似精确解是一种很好的解决办法。近年来,对数值方法稳定性和收敛性的研究是重要问题。例如,在方程满足什么样的条件下,其数值方法在某种意义下是收敛的,以及构造收敛阶更高且格式不过于复杂的数值方法等。另一方面,当方程的精确解稳定,是否可以推得相应的数值方法稳定;已知数值方法稳定,可否知精确解也是稳定的是关键问题。本文将在全局Lipschitz条件下,研究多维非线性SDEPCAs的Milstein数值方法的收敛性和稳定性。首先,给出应用于SDEPCAs的Milstein数值方法。为证得Milstein方法的收敛性,在(≥2)阶矩意义下,利用B-D-G不等式、Ho?lder不等式等重要不等式证明Milstein方法在有限时间区间[0,]上阶矩有界。其次,在全局Lipschitz条件下,基于Milstein方法的阶矩有界性,证明当步长充分小时,Milstein方法在均方意义下强收敛于精确解,重点证明收敛阶为1.最后,在方程是均方指数稳定的前提下,考察均方意义下,Milstein方法在什么条件下也是稳定的。通过数值算例验证了Milstein方法收敛阶为1高于Euler方法收敛阶1/2,以及该方法稳定性。

关键词：随机微分方程分段连续 Milstein方法收敛阶稳定性

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随机微分方程的数值求解

曲靖师范学院学报 2022年第6期41卷 20-24,37页

作者：刘永财柏明花曲靖师范学院数学与统计学院云南曲靖655011

随机微分方程广泛应用于经济,生物和自动化等领域,通常难以求出其解析解.利用Euler方法和Milstein方法分别给出线性随机微分方程的数值解,将数值解与解析解进行比较,给出两种方法的精度,分析说明步长和误差的关系.数值实验结果表明Milst... 详细信息

随机微分方程广泛应用于经济,生物和自动化等领域,通常难以求出其解析解.利用Euler方法和Milstein方法分别给出线性随机微分方程的数值解,将数值解与解析解进行比较,给出两种方法的精度,分析说明步长和误差的关系.数值实验结果表明Milstein方法得出的数值解比Euler方法更精确.

关键词：随机微分方程 Euler方法 Milstein方法误差分析

基于随机微分方程的动车组部件状态预防性模型研究（英文）

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Journal of Measurement Science and Instrumentation 2022年第3期13卷 345-351页

作者：皇甫兰兰赵祎帆苏宏升兰州交通大学自动化与电气工程学院

为了提高大型可修部件，如电力设备、大型核电设施、高速动车组等的运行维护管理水平，增加经济效益，预防性维护近年来在工业企业中得到了广泛应用。针对动车组部件运行过程中存在的维修成本高、故障危害大等问题，建立了一种基于随机... 详细信息

为了提高大型可修部件，如电力设备、大型核电设施、高速动车组等的运行维护管理水平，增加经济效益，预防性维护近年来在工业企业中得到了广泛应用。针对动车组部件运行过程中存在的维修成本高、故障危害大等问题，建立了一种基于随机微分方程的状态预防性维护模型。首先，考虑部件本身的退化和外界随机干扰两种因素，建立了可修部件的状态退化模型。其次，基于拓扑知识和鞅理论，对状态退化模型进行了分析，证明了该模型的单纯形、停时性和鞅性。最后，对动车组部件的监测数据进行了算例分析，验证了该模型的有效性。

关键词：预防性维护随机微分方程单纯形鞅动车组部件