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An equivalence canonical form of a matrix triplet over an arbitrary division ring with applications

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Science China Mathematics 2011年第5期54卷 907-924页

作者： WANG QingWen van der WOUDE J. W. YU ShaoWen Department of Mathematics Shanghai University Shanghai 200444 China Faculty of Electrical Engineering Mathematics and Computer ScienceDelft University of Technology Mekelweg 4 2628 CD Delft The Netherlands Department of Mathematics East China University of Science and Technology Shanghai 200237 China

We in this paper give a decomposition concerning the general matrix triplet over an arbitrary divisionring F with the same row or column numbers. We also design a practical algorithm for the decomposition of thematrix triplet. As applications, we present necessary and suficient conditions for the existence of the generalsolutions to the system of matrix equations DXA = C1, EXB = C2, F XC = C3 and the matrix equation AXD + BY E + CZF = Gover F. We give the expressions of the general solutions to the system and the matrix equation when thesolvability conditions are satisfied. Moreover, we present numerical examples to illustrate the results of thispaper. We also mention the other applications of the equivalence canonical form, for instance, for the compressionof color images.

关键词：矩阵方程应用程序规范形式等价除环三重分解彩色图像表达式

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除环上某些2×2块阵的群逆

除环上某些2×2块阵的群逆

作者：李佳梅黑龙江大学

学位级别：硕士

矩阵广义逆是矩阵论中非常活跃的研究领域,它在微分方程,马尔可夫链,数值分析,密码学和控制论等诸多领域都有广泛应用价值.正如我们所知,群逆是一种特殊的Drazin逆,但并不是每一个方阵都存在群逆.因此,对群逆的存在性及其表达式的研究... 详细信息

矩阵广义逆是矩阵论中非常活跃的研究领域,它在微分方程,马尔可夫链,数值分析,密码学和控制论等诸多领域都有广泛应用价值.正如我们所知,群逆是一种特殊的Drazin逆,但并不是每一个方阵都存在群逆.因此,对群逆的存在性及其表达式的研究是很有必要的. 1979年, Campbell和Meyer提出求任意2×2分块矩阵A B (A和D是方阵)的Drazin逆(群逆)表达式问题,到目前为止,这个问题还没有被完全解决.许多学者只给出了在一些特殊条件下这个分块矩阵的Drazin逆(群逆)的存在性及表示.令M=AX+Y B A,其中A, Y∈K, X, B∈K.本文给出了M的群逆在一定条件下存在的充分必要条件及表达式. 内容安排如下:第一章,我们介绍了矩阵广义逆和群逆国内外研究的概况,阐述了本文研究的动机以及本文的主要结果.第二章,我们讨论了两个矩阵乘积的群逆并给出了一些引理.第三章,我们给出了当A, B, X, Y满足如下条件之一时,M存在的充要条件及表示,推广了相应结果： (1) A, B, X, Y∈K, XA=AX且X可逆, A存在;(2) Y=0, A∈K, X, B∈Kn×m且rank(B)≥rank(A);(3) Y=0且X用XB代替, A∈Km×n, B∈K, X∈K.

关键词：除环分块矩阵群逆值域核空间

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自同态环为除环的模

自同态环为除环的模

作者：李越东南大学

学位级别：硕士

不可分解模是代数表示论和环模理论中十分重要的概念.自同态环为除环的模作为一类特殊的不可分解模,也一直被许多学者所关注.注意到,当K为代数闭域时,一些特殊的K-代数A上的不可分解模的自同态环一定是域.但是当基域K不是代数闭域时,一... 详细信息

不可分解模是代数表示论和环模理论中十分重要的概念.自同态环为除环的模作为一类特殊的不可分解模,也一直被许多学者所关注.注意到,当K为代数闭域时,一些特殊的K-代数A上的不可分解模的自同态环一定是域.但是当基域K不是代数闭域时,一般的K-代数A上不可分解模的自同态环未必是除环,而且一般很难给出所有的不可分解A-模.因此,本文转而考虑一些路代数上的自同态环为除环的模.另一方面,在环模理论中,Schur引理告诉我们,单模的自同态环一定是除环.但是众所周知,Schur引理的逆命题不成立.就像单模常被用于刻画一些环类的性质一样,自同态环为除环的模也可以用于刻画一些环类,例如rudimentary环.这类环是本原环的推广.我们将围绕rudimentary环展开进一步的研究.本文主要研究内容包括以下两个方面:一、路代数上的自同态环为除环的模.由于路代数上的模与箭图(quiver)的表示一一对应,而且后者研究起来更为便捷,所以我们常常把问题转化为研究自同态环为除环的表示.设K是一个域,Q是不止一个顶点的有限、连通、无环的箭图,a是Q的汇点,σa是a处的反射,Q’ = σaQ,S:repK(Q)→ repK(Q’)是相应的反射函子.由 I.N.Bernstein,I.M.Gel’fand和V.A.Ponomarev的一个结果可知:若M是repK(Q)中的不可分解表示且S(M)≠0,则End(M)≌End(S(M)).我们对这个结论给出一个直接的证明.对于Kronecker箭图Q和一个交换环A,我们先证明路环AQ上的自同态环为除环的模M可以作为路代数FQ上的模,而且EndAQ(M)≌EndFQ(M),其中F = Q(A/P)为A/P的商域,P是A中由M确定的素理想.然后对于任意一个域K,给出Q的表示K2(?)K2 的自同态环为除环的充要条件.对于只含有一个顶点一个箭头的箭图Q:(?),基于前人的结果,我们确定了代数闭域K上Q的所有自同态环为除环的表示.对于箭图Q:1(?)2和任意域K,给出了Q的表示(?)(m≥1)的自同态环为除环的等价刻画.此外,还研究了两个wild型箭图的表示,得到其自同态环的性质,并给出一些自同态环为除环的表示的例子.二、对于rudimentary环的进一步研究.由于rudimentary环是本原环的推广,受到前人关于本原环和本原理想的相关结果的启发,我们引入了 rudimentary理想的概念,证明了环R的理想I为右rudimentary理想当且仅当I是一个自同态环为除环的右R-模的零化子,并刻画了R上的有限阶全矩阵环的右rudimentary理想.此外考虑了环R的理想I(作为未必含有乘法单位元的环)是右rudimentary环的条件.设V是一个忠实的右R-模,EndR(V)为除环,I是R的含有非零中心元的理想,我们证明了EndR(V)= EndI(V).本文还研究了rudimentary环与素环的关系,给出了右rudimentary环是素环的一个充分条件.最后定义了*rudimentary环,证明了右*-rudimentary性质是Morita不变的.

关键词：模除环自同态环 rudimentary环 *-rudimentary环

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除环上长方分块三角矩阵几何的一些研究

除环上长方分块三角矩阵几何的一些研究

作者：邹素文长沙理工大学

学位级别：硕士

矩阵几何是华罗庚于上世纪40年代中期由于研究多元复变函数论的需要所开创的一个数学研究领域.三角矩阵在李代数中有重要地位,三角矩阵几何是矩阵几何研究的一个重要内容.在2006年,黄礼平和蔡永裕用不同方法证明了除环上分块三角矩阵几... 详细信息

矩阵几何是华罗庚于上世纪40年代中期由于研究多元复变函数论的需要所开创的一个数学研究领域.三角矩阵在李代数中有重要地位,三角矩阵几何是矩阵几何研究的一个重要内容.在2006年,黄礼平和蔡永裕用不同方法证明了除环上分块三角矩阵几何的基本定理,其结果较以前的研究更为简明.但是对角分块为长方分块的一般的分块三角矩阵几何情况仍为一个公开问题,本文将继续这一研究,解决了四分块情况下除环上长方分块三角矩阵几何在D≠F时的基本定理. 本文主要做了三个方面的工作. 1、研究了长方分块三角矩阵空间极大集的几何结构. 2、研究了长方分块三角矩阵空间之间的粘切性保持双射的一些基本性质. 3、应用极大集和仿射几何证明了关于4个分块矩阵的长方分块三角矩阵几何基本定理:设D是除环且D≠F, m,n均为≥2的整数,设φ是从T(m,n,2))到自身的双向保粘切的双射.若T(m,n,2))≠T(n,m,2)),则其中P∈T(m,2)),Q∈T(n,2)),T∈T(m,n,2)), P,Q为固定的可逆矩阵, A为固定的矩阵,σ是D的一个自同构.如果T(m,n,2)) = T(n,m,2)),则φ形如上式或为如下形式其中P,Q,T0,A的定义同上式,τ是D的一个反自同构.

关键词：矩阵几何除环长方分块三角矩阵极大集算术距离距离粘切性

除环上全矩阵代数的强保持秩可交换的加法满射

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黑龙江大学自然科学学报 2007年第3期24卷 411-414,420页

作者：杨雅琴齐齐哈尔大学理学院黑龙江齐齐哈尔161006

D是特征不为2的除环,n≥3,Mn(D)表示D上n×n全矩阵代数.刻画了从Mn(D)到Mn(D)的加法满射,对于任意的σ∈Sk(Sk是k元对称群),都有rank((A1)(A2)…(Ak))=rank((Aσ(1))(Aσ(2))…(Aσ(k)))当且仅当rank(A1A2…Ak)=rank(Aσ(1)Aσ(2)…Aσ(k))成立,则存在可逆阵P使具有以下形式之一:(i)(A)=αPf(A)P-1或(ii)(A)=αP(g(A))tP-1,其中f和g分别是D上的自同构和反自同构,A∈Mn(D),α∈D(D表示D的乘法群).

关键词：除环全矩阵代数加法满射秩可交换性

除环上分块矩阵的指标和Drazin逆(英文)

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黑龙江大学自然科学学报 2011年第2期28卷 196-199页

作者：谷德红曹重光黑龙江大学数学科学学院哈尔滨150080

设K为除环,Km×n是K上所有m×n矩阵的集合。设Α∈Km×n,满足rank(Αs+1)=rank(Αs)的最小非负整数s称为Α的指标,记作Ιnd(Α)=s。设Α∈Kn×n,Ιnd(Α)=s,如果Χ∈Kn×n满足以下方程:(1)ΧΑΧ=Χ(2)ΑΧ=ΧΑ(3)Αs+1Χ=Αs,则称Χ... 详细信息

设K为除环,Km×n是K上所有m×n矩阵的集合。设Α∈Km×n,满足rank(Αs+1)=rank(Αs)的最小非负整数s称为Α的指标,记作Ιnd(Α)=s。设Α∈Kn×n,Ιnd(Α)=s,如果Χ∈Kn×n满足以下方程:(1)ΧΑΧ=Χ(2)ΑΧ=ΧΑ(3)Αs+1Χ=Αs,则称Χ为Α的Drazin逆,记作Χ=ΑD。利用Fitting分解的方法,研究除环上分块矩阵{ΑΒ0C}的指标和Drazin逆的表示。

关键词：除环指标 Drazin逆