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扬州大学学报（自然科学版） 2018年第2期21卷 13-16,20页

作者：周正新李静怡颜跃新扬州大学数学科学学院江苏扬州225002

给出几类广义多项式型的一阶微分方程具有多项式型逆积分因子的充分条件,并讨论该类方程的可积性,给出其首次积分的表达式.

关键词：逆积分因子可积性微分方程首次积分

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解析系统的逆积分因子存在性问题及应用

解析系统的逆积分因子存在性问题及应用

作者：刘燕浙江理工大学

学位级别：硕士

逆积分因子经常被用来研究平面解析系统的可积性问题、平面多项式系统的极限环个数及其分布问题以及中心问题。然而,要判断一个给定的微分系统是否存在逆积分因子十分困难,对于存在逆积分因子的系统,如何求出其逆积分因子也是一个值得... 详细信息

逆积分因子经常被用来研究平面解析系统的可积性问题、平面多项式系统的极限环个数及其分布问题以及中心问题。然而,要判断一个给定的微分系统是否存在逆积分因子十分困难,对于存在逆积分因子的系统,如何求出其逆积分因子也是一个值得深究的课题。已有研究给出一些特殊形式微分系统的逆积分因子的求法。另外,逆积分因子与微分系统的李对称性有密切的联系,因此研究微分系统逆积分因子的存在性具有重要的理论与应用意义。微分方程的奇点包括初等奇点,幂零奇点及线性零奇点三种类型。对于初等奇点,已有结果是通过平面解析系统的正规型理论证明了粗焦点、非共振双曲结点以及Siegel双曲鞍点这些特殊类型初等奇点解析逆积分因子的存在性与唯一性。本文的第一个工作就是证明其它类型初等奇点形式逆积分因子的存在性,从而完全地解决初等奇点形式逆积分因子的存在性问题。具体地说,通过研究共轭系统逆积分因子之间的关系,利用平面光滑系统初等奇点的共轭正规形,研究其存在具有形如V(φ(x,y))逆积分因子的条件,给出了逆积分因子的具体表达式,证明了平面光滑系统初等奇点存在形式逆积分因子的结论。已有的结果表明任何幂零系统在形式幂级数代数C[[x,y]]的商域C((x,y))上存在代数逆积分因子。本文的第二个工作就是利用blow-up技巧将这个结果应用到线性零系统上去,并指出通常情况下在形式幂级数代数的商域上不存在代数逆积分因子。作为例子,我们还利用blow-up技巧对一类Fisher方程逆积分因子的存在性问题进行了讨论。最后,我们对全文进行了总结与展望。

关键词：逆积分因子初等奇点退化奇点共轭系统 blow-up技巧

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平面半拟齐次系统的逆积分因子

平面半拟齐次系统的逆积分因子

作者：王安然吉林大学

学位级别：硕士

逆积分因子是微分方程研究领域中重要且基本的概念,在微分方程的可积理论、分支理论以及平面系统的极限环等研究中一直都有重要作用,因此长期以来受到人们的广泛关注.本文考虑以下平面半拟齐次系统逆积分因子的存在性与解析可积性,其中... 详细信息

逆积分因子是微分方程研究领域中重要且基本的概念,在微分方程的可积理论、分支理论以及平面系统的极限环等研究中一直都有重要作用,因此长期以来受到人们的广泛关注.本文考虑以下平面半拟齐次系统逆积分因子的存在性与解析可积性,其中（x,y）∈ R2,（Pk（x,y）,Qk（x,y））（k=n,n+1,…,m）是指数为（s1,s2）的k阶拟齐次向量场.我们首先通过分析每个拟齐次向量场的逆积分因子,给出了平面半拟齐次系统存在多项式逆积分因子的充分条件,然后探讨了平面半拟齐次系统的解析可积问题.最后利用不变代数曲线理论,构造了一类由两个拟齐次向量场之和确定的半拟齐次系统的广义达布逆积分因子.本文分为三个部分.第一部分为绪论,介绍微分方程逆积分因子的研究背景及一些已有的研究成果.第二部分我们给出拟齐次系统、半拟齐次系统和不变代数曲线的定义及相关理论知识.第三部分给出平面半拟齐次系统存在多项式逆积分因子和解析可积的充分条件,并研究一类特殊的半拟齐次系统的广义达布逆积分因子.

关键词：半拟齐次系统逆积分因子不变代数曲线解析可积

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解析系统初等奇点逆积分因子的存在性

浙江理工大学学报（自然科学版） 2017年第4期37卷 557-562页

作者：刘燕黄土森浙江理工大学理学院杭州310018

由于逆积分因子的存在性与平面解析系统的可积性之间存在密切联系,因此它是研究平面解析系统可积性的重要工具。对于含初等奇点的平面解析系统,证明了它相应的正规形系统总存在逆积分因子,并求出其逆积分因子的具体表达式;利用坐标变换... 详细信息

由于逆积分因子的存在性与平面解析系统的可积性之间存在密切联系,因此它是研究平面解析系统可积性的重要工具。对于含初等奇点的平面解析系统,证明了它相应的正规形系统总存在逆积分因子,并求出其逆积分因子的具体表达式;利用坐标变换下两个平面系统逆积分因子之间的关系,证明了在初等奇点总存在逆积分因子。

关键词：逆积分因子初等奇点正规形

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一类时间可逆系统的逆积分因子

辽宁师范大学学报（自然科学版） 2011年第4期34卷 428-431页

作者：桑波刘文健朱思铭聊城大学数学科学学院山东聊城252059 中山大学数学与计算科学学院广东广州510275

由于含有系统的许多有用信息,逆积分因子被认为是解决常微分方程定性理论中两大公开问题:中心焦点问题、希尔伯特第十六问题的统一工具.而且逆积分因子与常微分方程的李对称性和Darboux可积性有密切的联系.因此对某些解析微分系统建立... 详细信息

由于含有系统的许多有用信息,逆积分因子被认为是解决常微分方程定性理论中两大公开问题:中心焦点问题、希尔伯特第十六问题的统一工具.而且逆积分因子与常微分方程的李对称性和Darboux可积性有密切的联系.因此对某些解析微分系统建立其逆积分因子的结构定理是重要的.对于一类时间可逆解析微分系统,建立了逆积分因子的系数递推公式.利用此递推公式得到其具有给定形式逆积分因子的充要条件.为了说明我们的结论,对于一个具体的时间可逆五次微分系统,利用系数递推公式直接给出系统的多项式型逆积分因子和初等首次积分.

关键词：时间可逆系统逆积分因子首次积分可积性

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不变代数曲线法求解积分因子

理论数学 2020年第6期10卷 593-598页

作者：李红伟徐雨薇吕月娥临沂大学山东临沂

在常微分方程课程学习中,积分因子的求解是一个难点问题,本文利用不变代数曲线法求解积分因子与逆积分因子,解决了两类微分方程的可积性问题。

关键词：积分因子逆积分因子首次积分

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不变代数曲线与一类三次系统的中心判定问题

系统科学与数学 2015年第5期35卷 611-616页

作者：桑波聊城大学数学科学学院聊城252059

对于一类具有一条抛物线解、两条直线解和中心-焦点型奇点的三次系统,证明它以原点为中心的充要条件是它的第一阶焦点量为零.系统在原点的中心条件是通过不变代数曲线构造积分因子或利用Poincare对称原理得以证明.

关键词：三次微分系统中心条件积分因子逆积分因子极限环

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一类三次系统的中心判定问题

数学年刊（A辑） 2014年第3期35卷 361-372页

作者：桑波聊城大学数学科学学院山东聊城252059

对于一类具有三次衄线解x^2(x-1)-y^2-1=0,通过点(1,0)的直线解和中心-焦点型奇点的三次系统,证明了它以原点为中心的充要条件是它的前五阶焦点量全为零.这些中心条件是通过构造积分因子得以验证的.

关键词：三次微分系统中心条件积分因子逆积分因子极限环

几类一阶微分方程的反射函数与可积性等价性研究

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几类一阶微分方程的反射函数与可积性等价性研究

作者：郁心怡扬州大学

学位级别：硕士

研究微分系统x'= X(t,x)的解的性态,不仅推动着微分方程理论的发展,同时对研究客观世界中物体的运动规律也具有很大的实际应用价值.当微分系统为自治系统,对于它的解的性态的研究成果已有很多.而对于非自治系统的研究成果就相对有限了.... 详细信息

研究微分系统x'= X(t,x)的解的性态,不仅推动着微分方程理论的发展,同时对研究客观世界中物体的运动规律也具有很大的实际应用价值.当微分系统为自治系统,对于它的解的性态的研究成果已有很多.而对于非自治系统的研究成果就相对有限了.我们知道,对于周期时变系统的研究,可以借助于Poincare映射和Lyapunov变换[1-4],但有时寻找这些变换是很困难的.上世纪八十年代,Mironenko[5]创建了反射函数理论.利用反射函数,我们可以建立周期时变系统（？）的Poincare映射,借助它能研究该系统的解的定性性态.我们称具有相同反射函数的两个微分系统类是等价的,而等价的周期系统的周期解的性态是相同的.所以当研究一类复杂的非自治微分系统解的性态时,只需研究与该系统等价的简单系统或自治系统解的性态即可.Mironenko在[5-6]中研究了微分系统（？）与x' = Y(t,x)(2)的等价性,得出(2)等价于(1),当且仅当(2)可表示为（？）.(3)这里F(t,x)为(1)的反射函数.但是对于一般微分系统要求出其反射函数是相当困难的.那如何在反射函数未知的情况下,判定(1)与(2)等价?于是Mironenko在[7]中给出,若△(t,x)满足（？）时,（？）与(1)等价,这里α(t)为t的奇的纯量函数,由此并推出x' = X(t,x)+ ∑αi(t)△,(t,x)(6)也与(1)等价,这里αi(t)为奇的纯量函数,△i.(t,x)为(4)的解.由此可看出,求出(4)的解△(t,x)即反射积分,对判定两个微分系统的等价性尤为重要.Belskii 在[26]中给出 Riccati 方程（？）和 Abel 方程（？）及一般多项式方程x'=∑i-0nai(t)xi的反射积分的结构形式,及这些方程具有这些反射积分的充分条件.Veresovich[19],Varenikova[25]研究了一个平面多项式微分系统与其线性部分等价的判定准则.在本文中,本人主要研究了几类一阶非自治有理分式型微分方程的反射积分及逆积分因子.通过它们建立了与这些方程等价的一阶微分方程类,利用逆积分因子研究了这些方程的可积性及其解的定性性态.其次还研究了两个非自治线性方程组的等价性,并给出了若干判定的准则.在这篇文章的第三章中,本人研究了一次有理分式方程具有各种类型的反射积分的充分条件,建立了与(7)等价的微分方程类.并利用这些反射积分讨论了微分系统的逆积分因子、首次积分及其解的定性性态.其次研究了二次有理分式方程(?)具有二次有理分式形式的反射积分的充分条件.建立了与(9)等价的微分方程类,并利用反射积分研究了微分系统(?)的逆积分因子及可积性问题及其解的定性性态.在第四章中,研究了两个非自治线性微分系统（？）等价性,并给出当它们等价时,其系数矩阵A(t),B(t)所满足的必要条件,以及它们等价的若干判定准则.特别地,还讨论了（？）等价时,(这里φ(t)为纯量函数C为常数矩阵),φ(t),C所具有的特征性质.

关键词：反射积分逆积分因子可积性等价性周期解

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退化解析系统正规形的计算及应用

退化解析系统正规形的计算及应用

作者：张晶浙江理工大学

学位级别：硕士

在非线性微分方程定性分析的研究中,正规形是一种有效的研究方法。正规形理论的基本思想是:对于给定的非线性微分方程,利用一个合适的变量变换,把所给的微分方程在形式上变得尽可能的简单,而且使得系统的局部定性性质在变换前后保持相... 详细信息

在非线性微分方程定性分析的研究中,正规形是一种有效的研究方法。正规形理论的基本思想是:对于给定的非线性微分方程,利用一个合适的变量变换,把所给的微分方程在形式上变得尽可能的简单,而且使得系统的局部定性性质在变换前后保持相同。计算正规形是正规形理论中的一个重要内容,并且当微分方程的线性化矩阵非零时正规形的计算已经比较成熟,应用成果也比较丰硕,虽然有时对所做的变量变换仍然难以求得。然而,在应用学科中经常出现线性化矩阵为零的非线性微分方程(本文也称之为退化非线性微分方程),对这类微分方程定性性质的研究具有重要的理论与应用价值。本世纪以来,国内外许多学者利用正规形理论开始研究退化非线性微分方程的一些经典理论问题(如可积性问题、单值性问题、逆积分因子存在性问题等)与一些应用问题(如分支问题、行波解的存在性问题等)。因此给定一个退化非线性微分方程,如何计算其正规形并研究其定性性质是一个比较新的研究课题。对于退化非线性微分方程,本文给出了其主微分方程的保守-耗散分解,并证明了这种分解的几个性质。利用这些性质把求定义在(拟)齐次向量场空间上的同调算子L值域补空间转化为求定义在(拟)齐次多项式空间上李导数算子召r+k值域补空间。在主微分方程是哈密尔顿的并且哈密尔顿函数在复多项式环C[x,y]上的因式仅为单因式的假设下,为求得正规形只需求有限多个定义在(拟)齐次多项式空间上李导数算子值域补空间,并给出递推公式。最后用这种方法求出一类广义Hopf奇点的正规形,并利用李三角形方法(即递归算法)给出正规形的系数与原微分方程系数之间的关系。文章由如下五章内容组成:第一章主要介绍文章研究背景与意义、目前国内外研究现状、本论文研究的结构与安排。第二章介绍基于Algaba等利用李括号方法建立起来的拟齐次轨道等价正规形理论的一般框架,主要是修正了一些关键引理(比如引理2.10、引理2.16等)中的错误并给出详细的证明;同时对正规形进一步简化(以消去更多的系统参数)。第三章介绍拟齐次共轭等价与轨道等价正规形理论递归算法。第四章作为例子,应用递归算法计算一类广义Hopf系统的正规形,并得到了正规形系统与原系统的前面几个系数之间的关系,并给出它的特殊情形存在逆积分因子的充要条件。第五章总结和展望。

关键词：解析系统正规形递归算法逆积分因子