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数学物理学报（A辑） 2011年第3期31卷 644-651页

作者：俞武扬杭州电子科技大学管理决策与创新研究所杭州310018

该文对凸体在保体积仿射变换下的最小p-表面积进行了研究;对p-表面迷向凸体的极L_p-投影体体积进行了估计;得到了一个p-等周不等式及其逆形式;最后,对于1≤p≤2的情况证明了p-表面迷向位置的稳定性.

关键词：迷向测度 p-表面积 Lp-投影体 p-等周不等式.

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对偶Wills函数极值问题的研究

对偶Wills函数极值问题的研究

作者：周雨诗浙江科技大学

学位级别：硕士

本硕士论文的研究内容属于对偶Brunn-Minkowski理论领域,主要研究凸体几何中的极值问题,涉及Wills函数,Blaschke-Santaló不等式,迷向测度等.研究主要分为以下三个问题:第一个问题是对偶Blaschke-Santaló不等式问题,第二个问题是星体对... 详细信息

本硕士论文的研究内容属于对偶Brunn-Minkowski理论领域,主要研究凸体几何中的极值问题,涉及Wills函数,Blaschke-Santaló不等式,迷向测度等.研究主要分为以下三个问题:第一个问题是对偶Blaschke-Santaló不等式问题,第二个问题是星体对偶Wills函数极值问题,第三个问题是凸体截面对偶Wills函数不等式.本文第一章介绍了凸几何发展的背景知识、研究问题以及本论文主要成果.第二章给出了一些重要的定义和所需不等式.第三章将Brunn-Minkowski理论中的极体、凸函数、Legendre变换等经典概念拓展到对偶Brunn-Minkowski理论中,得到了径向极体、径向凸函数、以及径向Legendre变换等新的概念.由径向极体等性质,结合逆Cauchy-Schwarz不等式,构建出Brunn-Minkowski理论中经典Blaschke-Santaló不等式的对偶和对偶逆不等式,随后推导出函数形式.第四章推广了Wills函数关于第一内蕴体积极值的研究.首先讨论对偶Wills函数的性质,并利用Jensen不等式、对偶Blaschke-Santaló不等式推导出对偶Wills函数关于第一对偶内蕴体积的极值.同时结合星体体积的性质,得到对偶Brunn-Minkowski型对偶Wills函数不等式.第五章考虑凸体截面极值问题,首先给出迷向测度的定义和性质,结合几何算术平均不等式,Brascamp–Lieb不等式,得到凸体截面对偶Wills函数的极值.

关键词：径向极体对偶Blascke-Santaló不等式对偶Wills函数迷向测度

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凸几何分析中的极值研究

凸几何分析中的极值研究

作者：娄盈盈河南理工大学

学位级别：硕士

本学术论文的研究内容属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域发展迅速并且是一个重要的几何分支.本硕士论文利用几何分析中的凸体理论研究函数不等式与极值问题.本文第三章的主要内容是利用欧式单位球面上的迷向测度来刻画T∈SL(n)下M(TK)... 详细信息

本学术论文的研究内容属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域发展迅速并且是一个重要的几何分支.本硕士论文利用几何分析中的凸体理论研究函数不等式与极值问题.本文第三章的主要内容是利用欧式单位球面上的迷向测度来刻画T∈SL(n)下M(TK)和M°(TK)的最小值问题.同时也得到了M(K)M°(TK)取得最小值的条件.在对偶L-Brunn-Minkowski理论中,我们给出了对偶p-差的定义并且研究了它的一些性质;接着利用对偶Brunn-Minkowski不等式得到了对偶p-差的体积不等式.另外,我们引入了对偶p-平行体的概念;给出了对偶p-平行体的凸性和连续性.为了研究对偶p-平行体的凸性,我们还定义了两个实数的调和p-平均.第五章,我们首先引入了非对称Orlicz差体的概念,系统的研究了它的性质,给出了非对称Orlicz差体与凸体的Minkowski组合之间的关系,最后研究了它的极值.在研究极值过程中,我们用到了L-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz空间的一些性质.第六章,我们主要研究了欧式单位球面上的Poincaré-型不等式,首先引入了一个自伴算子,然后利用这个自伴算子得到了第一、第二变分公式,最后我们利用这两个公式得到了主要的研究结果.

关键词：极值迷向测度 Mp(K) 对偶p-差体对偶p-平行体非对称Orlicz差体 Poincaré-型不等式

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凸体极小表面积位置的相关问题

凸体极小表面积位置的相关问题

作者：张海飞武汉科技大学

学位级别：硕士

本文隶属于Brunn-Minkowski理论,主要研究与凸体表面积相关联的极值位置问题.1961年,Petty通过解决凸体仿射极值问题,对凸体引入极小表面积,由极小表面积将经典的等周不等式加强为仿射等周不等式,初步建立仿射等周不等式和凸体表面积测... 详细信息

本文隶属于Brunn-Minkowski理论,主要研究与凸体表面积相关联的极值位置问题.1961年,Petty通过解决凸体仿射极值问题,对凸体引入极小表面积,由极小表面积将经典的等周不等式加强为仿射等周不等式,初步建立仿射等周不等式和凸体表面积测度迷向性之间的联系.凸体的各阶表面积是刚体不变的,但不是仿射不变的.为了从凸体表面积的刚体不变量中提炼出仿射不变量,本文研究如下仿射几何量问题:Aj(K)=inf {Sj(gK):g∈SL(n)},j=1,…,n-1.当j=n-1时,Petty已证明仿射几何量问题中对凸体最小表面积问题的表述,并建立了解的示性定理,其中仿射几何量An-1(K)是Petty所研究的表面积.本文的主要工作是对上述仿射极小化问题就j迷向测度之间的关系.

关键词：凸体表面积保体积变换混合均质积分迷向测度表面积测度

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有关椭球的等周及逆等周问题研究

有关椭球的等周及逆等周问题研究

作者：张思涛河南理工大学

学位级别：硕士

本硕士论文的研究内容属于Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowski理论领域,致力于凸体几何中的极值问题的研究.本硕士论文利用凸几何分析中的凸体理论来研究极值问题和等周不等式,涉及Ball-Barthe不等式,迷向测度,正弦椭球等问题.... 详细信息

本硕士论文的研究内容属于Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowski理论领域,致力于凸体几何中的极值问题的研究.本硕士论文利用凸几何分析中的凸体理论来研究极值问题和等周不等式,涉及Ball-Barthe不等式,迷向测度,正弦椭球等问题.本文主要对三个问题进行研究,第一个问题是关于混合LYZ椭球的Mahler猜想.第二个问题是正弦椭球的迭代问题.第三个问题是新椭球的体积不等式.本文第一章主要给出了一些凸几何发展的背景知识、研究问题和成果.第二章给出了一些基本的定义、引理和常用不等式.本文第三章的主要内容是推广了LYZ椭球的Mahler猜想,建立了混合LYZ椭球的体积不等式,且得到了关于体积V(Γ(K,L))V(L)的严格下界.通过定义迷向测度μ(·):=n V(·)/h(·)V(S)及引入迷向嵌入的定义,我们证明了一个关键引理,证明了定义的单位q:S→S是迷向嵌入.结合LYZ椭球的体积不等式的证明方法,得到了V(Γ(K,L))V(L)的严格下界.本文第四章是对第二个问题的研究,将建立正弦椭球ΛK和ΛK的体积不等式及迭代不等式.根据对正弦椭球的定义及性质的研究,结合LBrunn-Minkowski理论和对偶理论,我们建立了正弦椭球ΛK和ΛK的体积不等式,最后,我们给出了正弦椭球算子迭代不等式.本文第五章是对第三个问题的研究,将建立椭球Υ(K,L)的体积不等式.根据LYZ椭球的定义和L对偶曲率测度,我们引入新椭球Υ(K,L).结合Brunn-Minkowski不等式、对偶Brunn-Minkowski不等式,我们建立了新椭球的体积不等式及等式条件.

关键词： Brunn-Minkowski理论对偶Brunn-Minkowski理论 Ball-Barthe不等式迷向测度迷向嵌入迭代 Lp对偶曲率测度

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凸体的p-平均宽度极值问题研究

凸体的p-平均宽度极值问题研究

作者：龙群丽重庆师范大学

学位级别：硕士

本硕士论文以凸体的平均宽度为主要研究对象。对于凸体的平均宽度这一重要度量,已有诸多相关研究,最为著名的结果为经典的Urysohn不等式(?)此不等式等号成立当且仅当K为一个欧氏球。其中ω(K)表示K的平均宽度,ωn表示欧氏空间中单位球... 详细信息

本硕士论文以凸体的平均宽度为主要研究对象。对于凸体的平均宽度这一重要度量,已有诸多相关研究,最为著名的结果为经典的Urysohn不等式(?)此不等式等号成立当且仅当K为一个欧氏球。其中ω(K)表示K的平均宽度,ωn表示欧氏空间中单位球的体积,|K|表示K的体积。平均宽度的Urysohn型不等式均属于等周问题的研究范畴,其等号成立条件也多以球体来刻画。此类不等式通常可由Steiner对称来证明。关于凸体的平均宽度极值问题研究的一个困难的方面,在于是否存在一类不以球体为极值凸体的等周型不等式,通常此类不等式无法用对称化的方法来证明。本文将继续研究凸体的p-平均宽度的极值问题,概括地说,就是建立以立方体(cube)和八面体(octahedron)为极值凸体的等周型不等式,利用凸体的p-平均宽度加权逆等周不等式这一重要工具,解决相关极值问题,其主要结果为:定理1.2.1与定理1.2.2。具体来说,我们首先通过引入Lp-伪矩体的概念,来建立单位球面上的迷向测度与给定的凸体的Lp平均宽度,及其Lp-伪矩体的支撑函数之间的重要联系,此类不等式在凸体为八面体及其有关变换时取得等号。其次,我们给出了立方体上的高斯测度与凸体的Lp平均宽度之间的联系,此类结果以立方体及其变形为极值凸体。这些结果有助于我们梳理p-平均宽度极值问题的研究思路和方法,并推动此类问题相关研究的发展。

关键词：凸体 p-平均宽度迷向测度 p-投影体优化运输等周问题超平行体

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相关M_p(K)的极值问题

应用泛函分析学报 2016年第1期18卷 99-104页

作者：李爱军娄盈盈河南理工大学数学与信息科学学院焦作454000

对于R^n中充分光滑的凸体,通过欧式单位球面上的迷向测度,刻画了在T∈SL(n)下M_p(TK)和M_P~*(TK)的最小值问题.同时也得到了M_p(K)M_p~*(K)取得最小值的条件.

关键词：极值问题迷向测度 Mp(K)