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边界条件含有谱参数的非自伴不连续Sturm-Liouville算子的逆问题

边界条件含有谱参数的非自伴不连续Sturm-Liouville算子的逆问题

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作者：支运芳曲阜师范大学

学位级别：硕士

常微分算子理论的研究始于19世纪中期为研究固体热传导而导出的Sturm-Liouville问题,涵盖了数学物理、地球物理等众多应用领域,形成了一个重要的理论研究分支.Sturm-Liouviille逆谱问题的研究由俄国天文物理学家V.A.Ambartsumian在1929... 详细信息

常微分算子理论的研究始于19世纪中期为研究固体热传导而导出的Sturm-Liouville问题,涵盖了数学物理、地球物理等众多应用领域,形成了一个重要的理论研究分支.Sturm-Liouviille逆谱问题的研究由俄国天文物理学家V.A.Ambartsumian在1929年首次提出.通常情况下,经典Sturm-Liouville问题的解及其拟导数要求在区间内是绝对连续的,但一些应用领域中的实际问题并不满足这一要求,如热传导方程、光的衍射问题、质量转移问题,我们称这种问题是“内部不连续性问题”.这意味着方程的解及其拟导数在某些微分算子定义区间内的点处可能发生间断.为了处理这种问题的不连续性,通常方法是在间断点处加上转移条件,来刻画问题的解在间断点处两侧的关系.近年来,随着应用领域中提出的众多问题,内部不连续、边界条件依赖谱参数的微分方程边值问题引起了专家学者的关注.本文将研究边界条件含有谱参数的非自伴不连续Sturm-Liouville逆问题:Ly:=-y"（x）+q（x）y（x）=λy（x）,x ∈[0,π]其中λ为谱参数,q（x）是复值函数且q（x）∈ L2[0,π]（L2[0,π]表示区间[0,π]上所有满足条件（?）f（x）|2dx＜∞的复值可测函数集合）.2019年,史国良等人[8]将非自伴Sturm-Liouville逆问题推广至含有转移条件的情形.在文献[8]的基础上,自然地我们考虑是否可以将Sturm-Liouville问题的初始条件推广到带谱参数的边界条件上.通过研究我们得到两个基本解的渐近估计、广义规范常数和广义谱数据.进一步,给出了 Weyl函数的定义和表达式,并通过Weyl函数与谱数据的关系证明了逆问题的唯一性定理.最后,给出了势函数、边界条件系数和转移条件系数的重构算法.本文主要分为四章:第一章,这一章主要介绍了本文研究问题的研究背景和主要结果.第二章,给出本文所需要的预备知识和引理,再给出广义规范常数和广义谱数据的定义.第三章,在第二章的基础上,给出Weyl函数的表达式及其相应的唯一性定理,然后考虑逆问题及逆问题的解,给出势函数、边界条件参数和转移条件系数的重构算法.第四章,本章对本文进行总结与展望.

关键词：非自伴Sturm-Liouville算子边界条件依赖谱参数转移条件唯一性定理逆问题

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一类谱依赖边界条件下带有二次束的薛定谔算子的谱结构和谱奇异点

一类谱依赖边界条件下带有二次束的薛定谔算子的谱结构和谱奇异点

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作者：朱翔曲阜师范大学

学位级别：硕士

本文我们在L2（R+）中考虑由方程-y"+[p（x）+2λq（x）]y=λ2y,x∈R+=[0,+∞)和边界条件y’/y（0）=β1λ+βo/α1λ+αo生成的带有二次束的Schr（?）dinger算子L（λ）的谱结构,其中p（x）和q（x）是复值函数,α0,α1,β0,β1是复数... 详细信息

本文我们在L2（R+）中考虑由方程-y"+[p（x）+2λq（x）]y=λ2y,x∈R+=[0,+∞)和边界条件y’/y（0）=β1λ+βo/α1λ+αo生成的带有二次束的Schr（?）dinger算子L（λ）的谱结构,其中p（x）和q（x）是复值函数,α0,α1,β0,β1是复数并且α0/β1-α1β0≠0.证明了在条件p（x）,q’（x）∈AC（R1）,limx→∞[|p（x）|+|q（x）|+|q’（x）|]=0和#12成立的情况下,算子L（λ）的特征值和谱奇异点的个数只有有限多个,并且它们的重数也都是有限的,这里条件中的ε是正数.本文第二章主要采用迭代法给出方程的级数解,在迭代过程中需要找到势函数满足的条件.第三章主要利用了解析函数的性质,用特征函数的零点区分复平面,从而清晰的刻画算子的谱结构,最终得到了算子特征值和谱奇异点个数及重数有限性的条件.

关键词：非自伴Sturm-Liouville问题奇异谱点薛定谔算子二次束边界条件依赖谱参数

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