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mCH方程光滑孤立波解的轨道稳定性

mCH方程光滑孤立波解的轨道稳定性

作者：祝广明华中科技大学

学位级别：硕士

本文将验证下述modified Camassa-Holm方程m+((u-u)m)+γu=0,t>0,x∈R以合适的初值u∈H,s>时产生的光滑孤子解在Soblev空间H(R)∩W(R)上是轨道稳定的。在已知上述Cauchy初值问题的解的局部适定性的前提下,给定相对于光滑孤子解Φ在H(R)... 详细信息

本文将验证下述modified Camassa-Holm方程m+((u-u)m)+γu=0,t>0,x∈R以合适的初值u∈H,s>时产生的光滑孤子解在Soblev空间H(R)∩W(R)上是轨道稳定的。在已知上述Cauchy初值问题的解的局部适定性的前提下,给定相对于光滑孤子解Φ在H(R)∩W(R)空间下具有足够小的初始扰动的初值时,只要这个初值也满足局部适定性条件,它对应的解在最大存在区间内都必定会跟某个由Φ通过空间坐标系下的平移变换得到的函数在H(R)∩W(R)空间下足够接近。本文将选用两个合适的守恒量,利用集中紧性结合变分法证明这一稳定性,我们首先会考虑下述具有约束条件的极小化问题:I(?)inf{H(u):u∈H(R)∩W(R),E(u)=E(Φ)}它对应的极小集是G(?){u∈H(R)∩W(R):E(u)=m,H(u)=Ic我们将证明在保持一个守恒量不变的前提下,光滑孤子解恰好会给出另一个守恒量的极小值,而反过来这个极小值对应的极小集在限制前一个守恒量不变的前提下仅仅会包含光滑孤子解以及它的轨道。证明的关键在于,对波速进行适当限制时,由守恒量的精确表示可以得到守恒量之间重要的数值关系,这一数值关系除了能够用来验证集中紧性之外,还能够结合集中紧性说明在限制其中一个守恒量不变的条件下,能使另一个守恒量达到极小值的极小集是非空的。证得变分问题的极小集非空以后,根据拉格朗日乘数法的原理就能很容易证明这个极小集实际上恰恰就是光滑孤子解以及它的轨道。最后,在Soblev空间H(R)∩W(R)上的轨道稳定性就相当于证明极小集本身的稳定性。本文对前人结论的提升之处在于本文所用的方法能证明在一个更大的波速区间上,光滑孤立波是稳定的,可以在一个更大的波速区间上证明变分问题的极小集非空。具体来说,通过直接对守恒量的解析形式进行分析,本文给出了关于这两个守恒量之间新数值关系。本文的最后一部分会验证使用守恒量间的非线性多项式关系作为条件对结论产生的影响,并最终说明守恒量间的非线性多项式关系的效果与线性关系相同,自然也会给出完全一致的波速限制。于是可以预见的是很难仅仅依靠这两种守恒量间的数值关系继续利用此框架对结论进行提升,也就是说想要证明所有可能的波速情况下光滑孤立子的轨道稳定性,需要对该证明框架或者证明思路本身进行更大程度的修改。

关键词： modified Camassa-Holm方程变分法光滑孤立子轨道稳定性

带库仑位势的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性和强不稳定性

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带库仑位势的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性和强不稳定性

作者：王亦乐西北师范大学

学位级别：硕士

本学位论文主要研究了带库仑位势的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性和强不稳定性.首先,介绍了薛定谔方程的研究背景以及驻波解的轨道稳定性和强不稳定性的研究方法和进展.其次,给出了一些预备知识.进一步,通过变分法和集中紧性引理证明了... 详细信息

本学位论文主要研究了带库仑位势的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性和强不稳定性.首先,介绍了薛定谔方程的研究背景以及驻波解的轨道稳定性和强不稳定性的研究方法和进展.其次,给出了一些预备知识.进一步,通过变分法和集中紧性引理证明了带库仑位势、幂型及卷积型非线性项的薛定谔方程驻波解的存在性和轨道稳定性.最后,通过在带库仑位势和卷积型非线性项的薛定谔方程驻波解的邻域内构造爆破解的存在性证明了该方程驻波解的强不稳定性.

关键词：薛定谔方程库仑位势集中紧性引理驻波解轨道稳定性强不稳定性

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两类非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性

两类非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性

作者：孟亚莉西北师范大学

学位级别：硕士

本学位论文运用变分方法以及Cazenave-Lions方法,研究了两类非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性.本文主要研究两个问题:(ⅰ)针对带逆幂位势的非线性薛定谔方程i(?)tψ+Δψ+γ|x|-σψ+|ψ|αψ=0,在质量超临界的情形,通过构造局部极... 详细信息

本学位论文运用变分方法以及Cazenave-Lions方法,研究了两类非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性.本文主要研究两个问题:(ⅰ)针对带逆幂位势的非线性薛定谔方程i(?)tψ+Δψ+γ|x|-σψ+|ψ|αψ=0,在质量超临界的情形,通过构造局部极小化问题,证明了这类方程稳定驻波解的存在性.(ⅱ)针对带部分调和位势的非齐次非线性薛定谔方程(?)在质量超临界的情形,通过构造局部极小化问题以及证明解的全局存在性,获得了这类方程驻波解的轨道稳定性.

关键词：非线性薛定谔方程逆幂位势部分调和位势驻波解轨道稳定性

带Hardy位势的非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性

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带Hardy位势的非线性薛定谔方程驻波解的轨道稳定性

作者：曹磊金西北师范大学

学位级别：硕士

本学位论文研究了如下带Hardy位势及混合幂型非线性项的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性其中 N≥3,ψ0∈H1(RN),ψ:R+×RN→C,α≠0 满足 α2+4/N时,通过研究相应的局部极小化问题,证明了能量极小化子构成的集合的轨道稳定性.

本学位论文研究了如下带Hardy位势及混合幂型非线性项的薛定谔方程驻波解的轨道稳定性其中 N≥3,ψ0∈H1(RN),ψ:R+×RN→C,α≠0 满足 α轨道稳定性.当q>2+4/N时,通过研究相应的局部极小化问题,证明了能量极小化子构成的集合的轨道稳定性.

关键词：薛定谔方程 Hardy位势驻波解能量极小化子轨道稳定性

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组合KdV方程孤立波解的轨道稳定性

南华大学学报（自然科学版） 2023年第5期37卷 87-91页

作者：王琳刘自强欧阳自根刘耿华湖南交通工程学院基础部湖南衡阳421001

组合KdV方程在物理学的许多领域都有应用,例如等离子体磁流波、离子声波等。粒子在传输过程中需要刻画其稳定性。本文主要通过平移变换,将研究带有非零渐近值的孤立波解的轨道稳定性,转化为研究具有零渐进值孤立波解的轨道稳定性,给出... 详细信息

组合KdV方程在物理学的许多领域都有应用,例如等离子体磁流波、离子声波等。粒子在传输过程中需要刻画其稳定性。本文主要通过平移变换,将研究带有非零渐近值的孤立波解的轨道稳定性,转化为研究具有零渐进值孤立波解的轨道稳定性,给出了稳定性的判定定理,应用Grillakis-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论与谱分析理论得到了组合KdV方程的几种孤立波解的轨道稳定性结论。

关键词：组合KdV方程非零渐近值轨道稳定性孤立波

广义Boussinesq方程孤波解的轨道稳定性

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上海理工大学学报 2015年第5期37卷 409-418页

作者：陈旭张卫国李想上海理工大学理学院上海200093

应用Grillakis-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论,研究了具有两个非线性项的广义Boussinesq方程孤波解的轨道稳定性与不稳定性,得到了判断该方程孤波解轨道稳定性的一般性结论.进一步根据方程的两个精确钟状孤波解,推出了它们的轨道... 详细信息

应用Grillakis-Shatah-Strauss提出的轨道稳定性理论,研究了具有两个非线性项的广义Boussinesq方程孤波解的轨道稳定性与不稳定性,得到了判断该方程孤波解轨道稳定性的一般性结论.进一步根据方程的两个精确钟状孤波解,推出了它们的轨道稳定判别式的显式表达式,从而具体给出了使这两个孤波解轨道稳定的波速变化区间.另外,分析了方程中两个非线性项作用的大小对这两个孤波解轨道稳定波速变化区间的影响,给出了使这两个孤波解轨道稳定的最大波速变化范围.

关键词：广义 Boussinesq 方程多个非线性项孤立波轨道稳定性