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一类广义半无限规划问题的转化与算法

一类广义半无限规划问题的转化与算法

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作者：刘卫艾曲阜师范大学

学位级别：硕士

半无限规划在工程设计、最优控制、信息技术以及经济均衡等方面具有广泛的应用,因此目前它已经成为最优化领域中非常活跃的一个研究分支。近几年随着高新技术的发展和对社会经济行为的深入研究,广义半无限规划问题出现在上述各种领域中... 详细信息

半无限规划在工程设计、最优控制、信息技术以及经济均衡等方面具有广泛的应用,因此目前它已经成为最优化领域中非常活跃的一个研究分支。近几年随着高新技术的发展和对社会经济行为的深入研究,广义半无限规划问题出现在上述各种领域中,因此研究广义半无限规划问题具有重要的实际意义。由于对标准半无限规划问题,许多学者在理论研究与算法设计方面已经取得了很多重要成果,因此在解决广义半无限规划问题时,最常见的方法就是在一定的条件下将它转化为等价的标准半无限规划或有限规划来解决,比如利用增广拉格朗日函数或罚函数就可实现上述等价转化。本文主要针对一类广义半无限规划模型进行研究。主要思路是将广义半无限规划模型转化为一族光滑函数方程,利用求方程解的牛顿型方法(L-M算法)来求解光滑函数方程。第一章是本文的绪论部分,简要介绍了半无限规划的起源与发展和本文的主要工作。在第二章中我们将文献[30-32]中的转化方法推广到广义半无限规划。首先在广义半无限规划问题的最优解集X处满足某些条件的前提下将广义半无限规划模型转化为一个KKT系统,引入一类NCP函数,将此KKT系统转化为一族半光滑函数方程。我们对FB函数做以修改使之修改后的函数是一个连续可微的NCP函数,从而得出了一个光滑函数方程。我们应用文献[29]对非线性方程组给出的L-M算法来解决这个光滑函数方程,该算法具有全局收敛性,并且在局部误差界的条件下,算法具有二次收敛速率。我们通过数值实验验证数值效果良好。若能保证在水平集Q上光滑函数的Jacobian矩阵可逆条件成立,那么就能保证所得到光滑函数方程的解为GSIP问题的稳定点。第三章针对广义半无限规划转化来的KKT系统,我们又通过扰动的FB函数将此半光滑函数方程转化为一族光滑函数方程。设计了一个类似于L-M算法的算法—光滑型L-M算法,证明了算法的全局收敛性并且在光滑函数方程解集处满足局部误差界的条件下证明了算法具有超线性收敛速率。最后通过数值实验验证了算法的可行性。与文献[30,31]相比,我们给出的KKT系统是固定维数的KKT系统,而文献[30,31]给出的n+(m+g+1)p维的KKT系统是一个p随x变化而变化的KKT系统,并且我们将水平集上的Jacobian矩阵可逆的条件弱化为局部误差界的条件。由于KKT系统的维数的固定性,在算法中它不需要对p=1,2…,n进行尝试,这相对减少了算法的计算量。而相比于第二章的L-M算法,虽然它的收敛速度只具有是超线性收敛,但通过数值实验验证第三章的数值结果更精确一些,且所用时间明显更少。

关键词：广义半无限规划光滑L-M算法 NCP函数全局收敛超线性收敛/二次收敛

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解非线性互补问题的非单调信赖域方法

解非线性互补问题的非单调信赖域方法

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作者：俞昊东同济大学

学位级别：硕士

本文研究非线性互补问题NCP(F)的数值解法,为解决单调算法的迭代点列在进入狭长区域时效率低下的问题,加快迭代速度,引入了非单调技术来改进原有算法。通过将非单调技术与较为稳定、可靠的信赖域方法相结合,提出了一类新的算法。本文采... 详细信息

本文研究非线性互补问题NCP(F)的数值解法,为解决单调算法的迭代点列在进入狭长区域时效率低下的问题,加快迭代速度,引入了非单调技术来改进原有算法。通过将非单调技术与较为稳定、可靠的信赖域方法相结合,提出了一类新的算法。本文采用Fischer-Burmeister函数将互补问题转化为等价的非光滑非线性方程组。并利用Kanzow光滑逼近函数来逼近Fischer-Burmeister函数,得到相应的光滑的非线性方程组。第三章给出了求解该方程组的非单调信赖域算法,算法在信赖域子问题的下降量估计中引入“非单调比率”,当该比率可接受时即接受该步迭代。同时,若目标函数下降得足够多,即更新Kanzow光滑逼近函数的光滑化系数。在假定F是P函数的条件下,我们证明了算法产生的点列包含在一个水平集中。且在水平集是紧集的条件下,算法至少产生一个聚点,从而保证了算法的全局收敛性。进一步地,本文还给出了点列在一定条件下收敛到唯一点,并有局部超线性收敛性及二次收敛性等性质。第七章进行的若干数值实验表明,算法是有效的,尤其在等值线狭长的情况下,提高了单调算法的计算效率。

关键词：非线性互补问题非单调技术信赖域方法全局收敛性超线性收敛/二次收敛

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