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探讨线性方程组求解问题

科技资讯 2024年第13期22卷 232-235页

作者：林清华闽江师范高等专科学校福建福州350000

对于线性方程组,只有在方程的个数等于未知量的个数,系数行列式不等于零的情况下,才可以使用克莱姆法则求得,也可以使用逆矩阵法求得。而对于一般的线性方程组,如何判定它是否有解、解是否唯一,以及在解不唯一的情况下,又该如何求出它... 详细信息

对于线性方程组,只有在方程的个数等于未知量的个数,系数行列式不等于零的情况下,才可以使用克莱姆法则求得,也可以使用逆矩阵法求得。而对于一般的线性方程组,如何判定它是否有解、解是否唯一,以及在解不唯一的情况下,又该如何求出它的解。这个问题的解决,对理论和实际都具有十分重要的意义。以下以矩阵为工具,探求一般线性方程组解的情况和解的问题。

关键词：线性方程组系数矩阵基础解析通解

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求解相容线性方程组的贪婪块Kaczmarz方法

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数值计算与计算机应用 2024年第3期45卷 237-248页

作者：孙超郭晓霞中国海洋大学数学科学学院青岛266100

本文首先针对文献[14]中的贪婪Kaczmarz(GK)方法提出了一个新的收敛定理;其次,为了提高求解相容线性方程组的效率,基于GK方法的贪婪策略提出了一种新的贪块Kaczmarz(RDBK)方法,并给出了RDBK方法的收敛定理;最后,数值实验表明RDBK方法在... 详细信息

本文首先针对文献[14]中的贪婪Kaczmarz(GK)方法提出了一个新的收敛定理;其次,为了提高求解相容线性方程组的效率,基于GK方法的贪婪策略提出了一种新的贪块Kaczmarz(RDBK)方法,并给出了RDBK方法的收敛定理;最后,数值实验表明RDBK方法在迭代步数和计算时间方面均显著优于GK方法.

关键词：收敛性贪婪策略线性方程组 Kaczmarz方法残差

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线性方程组二级迭代法的收敛速度

国防科技大学学报 2005年第3期27卷 100-104页

作者：蔡放熊岳山国防科技大学理学院国防科技大学计算机学院湖南长沙410073

二级迭代法由内、外迭代和内迭代次数三部分组成。给出了线性方程组二级迭代法R1-收敛因子的一个上界,这个上界由内、外迭代的R1-收敛因子和内迭代次数所决定,其主部为外迭代的R1-收敛因子。在矩阵单调性条件下,对于任何内迭代方法和任... 详细信息

二级迭代法由内、外迭代和内迭代次数三部分组成。给出了线性方程组二级迭代法R1-收敛因子的一个上界,这个上界由内、外迭代的R1-收敛因子和内迭代次数所决定,其主部为外迭代的R1-收敛因子。在矩阵单调性条件下,对于任何内迭代方法和任意内迭代次数,证明了外迭代的R1-收敛因子也是二级迭代法R1-收敛因子的下界。所得结果反映了内、外迭代的收敛速度以及内迭代次数对于二级迭代法收敛速度的综合影响。

关键词：线性方程组二级迭代法收敛速度

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线性方程组并行迭代解法的新思路

电子科技大学学报 2005年第3期34卷 413-416页

作者：曾宪雯中国工程物理研究院研究生部四川绵阳621900

针对求解大型线性方程组,利用改进后的MGS方法和分治策略,给出了一种求解任意相容性线性方程组通解或不相容性线性方程组最小二乘解通解的并行数值方法,分析了该方法的复杂性和数值稳定性,探讨其基于MIMD分布式存储或分布共享存储模型... 详细信息

针对求解大型线性方程组,利用改进后的MGS方法和分治策略,给出了一种求解任意相容性线性方程组通解或不相容性线性方程组最小二乘解通解的并行数值方法,分析了该方法的复杂性和数值稳定性,探讨其基于MIMD分布式存储或分布共享存储模型的消息传递并行算法的设计方法。

关键词：线性方程组 MGS正交约化分治策略消息传递 MD并行算法

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线性方程组迭代法的几何解释

大学数学 2023年第2期39卷 92-99页

作者：雍龙泉刘三阳陕西理工大学数学与计算机科学学院陕西汉中723001 西安电子科技大学数学与统计学院西安710071

以2阶矩阵为例,对线性方程组的迭代法进行了深入分析.以矩阵的特征值与谱半径作为分类原则,对迭代法的收敛或发散从几何上进行了解释,旨在加深学生从几何上理解线性方程组的迭代法.

关键词：线性方程组迭代法特征值谱半径

线性和非线性方程组的加速贪婪Kaczmarz迭代算法

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线性和非线性方程组的加速贪婪Kaczmarz迭代算法

作者：谭龙泽华东师范大学

学位级别：硕士

科学与工程计算领域中的诸多实际问题,比如,结构分析、网络分析、数据分析、数据拟合和微分方程数值解等最终都可归结为线性或非线性方程组问题的求解.因此,研究求解这些问题的高效算法是非常有实际意义的.在前人工作的基础上我们提出... 详细信息

科学与工程计算领域中的诸多实际问题,比如,结构分析、网络分析、数据分析、数据拟合和微分方程数值解等最终都可归结为线性或非线性方程组问题的求解.因此,研究求解这些问题的高效算法是非常有实际意义的.在前人工作的基础上我们提出了一系列高效求解此类问题的新方法,并给出了它们的收敛性定理.首先,基于贪婪随机Kaczmarz(GRK)方法的选取目标行的准则,针对求解相容的超定或欠定线性方程组我们提出了多步贪婪随机Kaczmarz(MGRK)方法和加速贪婪Kaczmarz(AGK)方法,并证明了它们能收敛到线性方程组的唯一最小范数解.数值实验表明MGRK方法优于GRK方法,且对于大型稠密的欠定线性方程组而言MGRK方法也优于最大加权残差Kaczmarz(MWRK)方法.数值实验也表明了AGK方法的数值性能优于GRK方法、MWRK方法和快速确定性块Kaczmarz(FDBK)方法.其次,基于贪婪随机坐标下降(GRCD)方法的选取目标列的准则,对于求解超定的线性最小二乘问题我们提出了多步贪婪随机坐标下降(MGRCD)法以及加速贪婪坐标下降(AGCD)法.对于系数矩阵列满秩的超定线性方程组,我们证明了这两个方法可以收敛到唯一最小二乘解.数值实验表明MGRCD方法和AGCD方法都优于最大距离坐标下降(AMDCD)方法和GRCD方法,且对于大型稀疏病态的线性方程组而言AGCD方法也优于CGLS算法和LSQR算法.再次,基于GRK方法的思想,我们提出了求解非线性方程组的非线性贪婪随机Kaczmarz(NGRK)方法和非线性松弛贪婪随机Kaczmarz(NRGRK)方法,并且分析了NGRK方法的收敛性.为了提高NGRK方法和NRGRK方法的计算效率,我们设计了多步非线性贪婪随机Kaczmarz(MNGRK)方法和加速非线性贪婪Kaczmarz(ANGK)方法,也给出了这两种方法的收敛性分析.此外,受到最大距离坐标下降(MDCD)法思想的启发,我们提出了非线性最大距离Kaczmarz(NMDK)方法,并证明了该方法的收敛性.为了进一步提高NMDK方法的收敛速度,我们提出了其加速版本,即加速非线性最大距离Kaczmarz(ANMDK)方法.数值实验表明ANGK方法和ANMDK方法比非线性Kaczmarz方法、非线性随机Kaczmarz方法和Gauss-Newton法更有效.最后,我们将AGK方法和AGCD方法作为非精确牛顿(IN)法的内迭代,提出了求解非线性方程组的Newton-AGK方法和Newton-AGCD方法.数值实验表明了这两种方法具有局部二次收敛性.与经典的IN方法相比,我们提出来的这两个非精确牛顿法还能求解超定的非线性方程组.

关键词：线性方程组线性最小二乘问题非线性方程组多步贪婪随机Kaczmarz方法非线性贪婪随机Kaczmarz方法加速贪婪Kaczmarz方法

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线性方程组在代数几何中的应用

鞍山师范学院学报 2022年第4期24卷 13-19页

作者：张立新鞍山师范学院数学与信息科学学院辽宁鞍山114007

线性方程组是高等代数的重要组成部分.从介绍线性方程组的基本问题入手,深入研究线性方程组的基本解法,通过案例重点论述线性方程组在代数几何中的应用,即利用线性方程组确定特征子空间、讨论平面间的几何特征等,同时探究线性方程组的... 详细信息

线性方程组是高等代数的重要组成部分.从介绍线性方程组的基本问题入手,深入研究线性方程组的基本解法,通过案例重点论述线性方程组在代数几何中的应用,即利用线性方程组确定特征子空间、讨论平面间的几何特征等,同时探究线性方程组的思政教学.

关键词：线性方程组求解方法特征子空间平面

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线性方程组、矩阵、向量组的内在联系

数学学习与研究 2023年第10期 5-7页

作者：王军霞郭艳凤中国地质大学(武汉)数学与物理学院湖北武汉430074

在线性代数课程中,矩阵是主要的研究工具,线性方程组是重要的研究内容,向量组的内容抽象难懂,但它是从代数过渡到n维几何的必经之路.向量组的重要概念,通过线性方程组解的理论过渡都可以转化为矩阵问题.学生只有将矩阵、线性方程组和向... 详细信息

在线性代数课程中,矩阵是主要的研究工具,线性方程组是重要的研究内容,向量组的内容抽象难懂,但它是从代数过渡到n维几何的必经之路.向量组的重要概念,通过线性方程组解的理论过渡都可以转化为矩阵问题.学生只有将矩阵、线性方程组和向量组这三部分理论内容做到灵活掌握、自由切换才能达到熟练应用的学习目标.文章将线性方程组系数矩阵及增广矩阵秩的取值分四种情况说明矩阵、线性方程组、向量组之间的内在联系.

关键词：线性代数线性方程组矩阵向量组

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线性方程组与四元数环

唐山师范学院学报 2023年第3期45卷 1-2页

作者：孙秀娟王红丽李师广朱艳伟唐山师范学院数学与计算科学学院河北唐山063000

利用克莱姆法则,解2个方程2个未知元的非齐次线性方程组,求出了四元数环的单位元、所有非零元的逆元。

关键词：线性方程组四元数环单位元逆元克莱姆法则