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跳扩散系统的零和线性二次随机微分对策问题

跳扩散系统的零和线性二次随机微分对策问题

作者：张保凯山东大学

学位级别：硕士

随机线性二次问题是一类经典的最优控制问题,一些非线性控制问题可以用线性二次问题做逼近。讨论加上跳扩散的系统更加符合现实应用的发展需要,特别是在日益繁荣的金融市场中,一些均值方差投资组合问题和风险控制问题可以转化为随机线... 详细信息

随机线性二次问题是一类经典的最优控制问题,一些非线性控制问题可以用线性二次问题做逼近。讨论加上跳扩散的系统更加符合现实应用的发展需要,特别是在日益繁荣的金融市场中,一些均值方差投资组合问题和风险控制问题可以转化为随机线性二次控制问题;真实市场中存在竞争对手,竞争对手共同参与市场并影响市场,这启发我们将部分此类问题转化为零和微分对策问题,而考虑跳扩散的系统则更加符合金融市场随机性的规律。本文研究了一类带泊松跳的零和线性二次随机微分对策问题,且其扩散项系数不为零。基于对相关黎卡堤方程的研究,给出了一类闭环形式的最优反馈控制策略对,在一定程度上拓展了带跳线性二次问题的结果。我们运用Hamadene线性变换将对策问题与另一个控制问题联系起来,讨论了对策问题的哈密顿系统及黎卡堤方程并给出了解的存在唯一性证明。在跳扩散系统的零和线性二次随机微分对策问题中,控制变量由两部分组成,可以看成是两个玩家同时参与系统且共同影响状态变量;状态方程是线性的正向随机微分方程,并且它是由一个d-维标准布朗运动和一个泊松随机鞅测度所驱动的;目标函数是关于状态变量和控制变量的二次形式,玩家一希望目标函数一达到最大(或最小),玩家二则希望目标函数二达到最小(或最大)。玩家一和玩家二相互制约、相互影响。由于对策问题的特殊性,我们需要考虑容许控制、容许策略、容许反馈控制以及容许反馈策略定义的合理性。此外,我们分别定义了玩家一、玩家二以及对策问题的值,最终能够在这种动态的博弈中取得一个均衡点,即最优反馈控制策略对。

关键词：线性二次微分对策最优反馈控制策略对正倒向随机微分方程黎卡堤方程

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奇异系统无穷时间线性二次微分对策

奇异系统无穷时间线性二次微分对策

作者：吴同新山东大学

学位级别：硕士

微分对策理论是控制论和决策论的重要分支,在军事对策和经济学研究领域具有非常广泛而重要的应用.从十九世纪五十年代以来,山于军事需要,微分对策问题越来越受人们的关注.很多研究者在这一方面已经做出了很大的贡献,比如Nash, Frirdman,... 详细信息

微分对策理论是控制论和决策论的重要分支,在军事对策和经济学研究领域具有非常广泛而重要的应用.从十九世纪五十年代以来,山于军事需要,微分对策问题越来越受人们的关注.很多研究者在这一方面已经做出了很大的贡献,比如Nash, Frirdman, Krasovskii等.对于奇异系统来说,很多研究者从上个世纪以来就对非零和对策和零和对策做了广泛的研究,取得了很多优秀的成果.但是大多数研究者主要研究的是有限时间情形下奇异系统的线性二次微分对策,针对无穷时间的研究文献却不多见. 本文首先对奇异系统以及奇异系统微分对策研究现状进行了简要的概述,引出了本文的研究背景.本文根据已有的正常系统理论向奇异系统的推广和移植,我们得到了连续和离散奇异系统在无穷时间情形下线性二次微分对策问题的几个结论,包括非零和对策和零和对策.考虑到无穷时间情形,我们规定控制器策略是常策略.不同于以前的研究者,我们是直接对系统进行研究,而不是先对系统做非限制性等价变换再进行研究. 第二章主要研究了连续奇异系统在无穷时间情形下的线性二次微分对策问题,包括非零和对策和零和对策.对于这两种对策,我们首先用数学语言给出问题描述.接着我们得到了两个分别用一组耦合的方程组和不等式组来寻找Nash均衡点和鞍点均衡点的充分条件.以及满足非零和对策和零和对策的具体控制策略,最后利用数值仿真来验证了结论的有效性.对于非零和对策,我们还得到了关于正常线性系统和多变量奇异系统无穷时间线性二次微分对策的两个推论. 第三章主要研究了离散奇异系统在无穷时间情形下的线性二次微分对策问题包括非零和对策和零和对策.对于这两种对策,我们首先用数学语言给出问题描述,接着我们得到了两个分别用一组耦合的方程组和不等式组来寻找Nash均衡点和鞍点均衡点的充分条件,以及满足非零和对策和零和对策的具体控制策略,最后利用数值仿真来验证了结论的有效性.

关键词：微分对策线性二次容许性最优策略最优成本函数

带泊松跳跃的线性二次平均场随机博弈问题研究及应用

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带泊松跳跃的线性二次平均场随机博弈问题研究及应用

作者：周莹齐鲁工业大学

学位级别：硕士

本文研究了带泊松跳跃的线性二次平均场随机博弈问题,其中每个参与者的扩散项包含状态项和控制项。平均场系统的最大的特点是每个普通参与者对其他参与者的单独作用可以忽略,但是所有普通参与者的群体行为以平均场项耦合项的形式对每个... 详细信息

本文研究了带泊松跳跃的线性二次平均场随机博弈问题,其中每个参与者的扩散项包含状态项和控制项。平均场系统的最大的特点是每个普通参与者对其他参与者的单独作用可以忽略,但是所有普通参与者的群体行为以平均场项耦合项的形式对每个参与者的状态方程和效用泛函产生了显著的影响。平均场随机博弈问题的核心困难是如何解决参与者之间以平均场耦合项形式体现的交互影响。为了处理平均场耦合项带来的困难,本文使用纳什确定性方法（Nash Certainty Equivalency,简称NCE）构造了一组分散控制策略。论证了这组分散控制策略的渐近最优性,称之为?-Nash均衡策略。本文还研究了一类定价问题,说明平均场对策问题的研究动机和实际应用背景。最后,数值算例验证了平均场估计的一致性,以及平均场项对参与者状态轨迹的影响。论文的第一章,就本文所研究问题的研究背景进行深入介绍,详细阐述了本文所做的主要工作。论文的第二章研究了一类含N个同等地位的普通参与者的带泊松跳跃的线性二次平均场随机博弈问题。与已有的研究成果相比,在本章的平均场博弈系统中,参与者状态方程的扩散项含状态项和控制项,且状态方程带泊松跳跃项。研究的目标是:每一个参与者,都需要在考虑其他参与者行为的前提下,选择自己的控制策略,以最优化自己的效用泛函。为解决此问题,借助NCE方法,首先根据平均场博弈系统构造相应的极限控制系统,给出此极限系统最优控制的反馈形式。然后,验证耦合的NCE方程解的存在唯一性,确定平均场逼近项的表达式,进而根据极限系统最优控制的反馈形式构造原平均场博弈系统的分散控制策略。最后,论证平均场博弈系统与极限系统之间的逼近关系,根据逼近关系证明所设计的分散控制策略为平均场博弈系统的?-Nash均衡策略。通过一个定价问题,验证了理论成果的应用价值。论文的第三章研究了一类含主从参与者的带泊松跳跃的线性二次平均场随机博弈问题,此博弈系统包含一个主要参与者（Major agent）与N个具有相同地位的普通参与者（Minor agent）。在此平均场博弈系统中,主要参与者的状态、效用泛函受平均场项的影响,每一个普通参与者的状态方程与效用泛函既受到主要参与者的影响,也受到平均场项的影响。所有参与者的方程均为含泊松跳跃项的随机微分方程形式。在分析参与者根据自己的状态信息、群体行为信息来选择自己的最优控制策略时,需要从主要参与者、普通参与者两个角度分别进行分析。具体处理步骤如下:第一步,根据所研究的含主从参与者的平均场博弈系统构造两个辅助的极限控制系统,给出此极限系统的最优控制策略。第二步,根据耦合的NCE方程确定平均场逼近项满足的方程形式,进而根据极限系统最优控制策略的反馈形式构造原平均场博弈系统的分散控制策略。最后,论证含主从参与者的平均场博弈系统与极限系统之间的逼近关系,根据逼近关系证明所设计的分散控制策略为带主从参与者的平均场博弈系统的?-Nash均衡策略。论文的第四章,为了研究实际问题中存在的许多由于突变因素而引起系统状态和参数跳变的现象,本章研究了一类含N个同等地位的普通参与者的带Markov跳的线性二次平均场随机博弈问题。每个参与者状态方程和效用泛函中的系数均为含Markov跳跃的情形。每一个参与者需要依据自身的状态信息和群体行为信息来选择自己的控制策略,以最优化其效用泛函。为解决此问题,首先根据平均场博弈系统构造一个带Markov跳的极限控制系统,给出此极限系统最优控制的反馈形式。其次,给出平均场逼近项的表达式,利用极限系统最优控制策略构造原平均场博弈系统的分散控制策略。最后,论证带Markov跳的平均场博弈系统与带Markov跳的极限系统之间的逼近关系,据此证明所设计的分散控制策略为带Markov跳的平均场博弈系统的?-Nash均衡策略。论文的第五章,为了验证理论结果,本章给出了数值仿真结果。数值结果验证了平均场估计的一致性,以及群体行为x（t）对参与者状态轨迹的影响。论文的第六章,对本文的内容进行总结并且展望未来的方向和计划。

关键词：泊松跳跃线性二次平均场博弈主从参与者 Markov跳跃 ?-Nash均衡

Lévy过程驱动的平均场线性二次最优控制问题

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Lévy过程驱动的平均场线性二次最优控制问题

作者：熊虹浙江师范大学

学位级别：硕士

本文主要研究在正定和不定情况下的平均场线性二次最优控制问题,其中控制系统是由与Lévy过程相关的Teugel’s鞅和布朗运动共同驱动的平均场随机微分方程.在这两种情况下,得到了开环形式的最优控制,并利用解耦技术,得到可由两个Riccati... 详细信息

本文主要研究在正定和不定情况下的平均场线性二次最优控制问题,其中控制系统是由与Lévy过程相关的Teugel’s鞅和布朗运动共同驱动的平均场随机微分方程.在这两种情况下,得到了开环形式的最优控制,并利用解耦技术,得到可由两个Riccati微分方程表示的闭环形式的最优控制.此外,在正定和不定情况下,还得到了最优系统和Riccati微分方程的可解性.作为金融工程应用,文章最后研究了一个动态均值方差的可解性问题.本文具体分为以下章节:第一章介绍相关的研究背景及现状和一些记号,并列出了本文的主要研究结果.第二章研究了正定情况下由Lévy过程相关的Teugel’s鞅和布朗运动共同驱动的平均场随机微分方程的线性二次最优控制问题.通过变分方法推导出最优系统,并利用解耦技术得到出两个相应的Riccati微分方程,证明Riccati微分方程的唯一可解性,最后得到最优控制的状态反馈形式.第三章研究了不定情况下由Lévy过程相关的Teugel’s鞅和布朗运动共同驱动的平均场随机微分方程的线性二次最优控制问题.得到不定情况下相应的最优系统和Riccati微分方程及最优控制的状态反馈形式.第四章研究了一个在不定平均场线性二次问题下的动态均值方差问题的可解性.得到了最优投资策略的显示表示.

关键词：平均场 Teugel’s鞅线性二次最优控制 Riccati微分方程反馈表示

线性二次(LQ)最佳设计计算法在火炮随动系统中的的应用

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舰艇武备 1991年第7期 38-43页

作者：王新生王国桂

部分信息下带跳线性二次平均场类型的二人零和微分对策问题

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湖州师范学院学报 2022年第4期44卷 1-10页

作者：杨依芸唐矛宁孟庆欣浙江师范大学数学与计算机科学学院浙江金华321004 湖州师范学院理学院浙江湖州313000

讨论在部分信息下带跳线性二次平均场类型的二人零和微分对策问题,其中状态方程是由布朗运动和泊松随机鞅测度共同驱动,且包含仿射项的平均场类型的随机微分方程.通过二人零和微分对策中两个决策者的相互作用,引入两个Riccati方程,再利... 详细信息

讨论在部分信息下带跳线性二次平均场类型的二人零和微分对策问题,其中状态方程是由布朗运动和泊松随机鞅测度共同驱动,且包含仿射项的平均场类型的随机微分方程.通过二人零和微分对策中两个决策者的相互作用,引入两个Riccati方程,再利用经典的变分技术和配方法,建立开环鞍点的状态反馈表示和最优的对策值函数,最后通过讨论该问题的一个特例,得到其相应最优控制的反馈表示.

关键词：二人零和微分对策线性二次平均场部分信息倒向随机微分方程开环鞍点 Riccati方程

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一类非线性二次递推数列的解题模型

中学数学 2020年第9期 56-57+59页

作者：乔建元陕西省旬阳第二中学

"不动点"是荷兰数学家布劳威尔(Brouwer)首先提出的,它是现代数学的一个基本概念,现代数学中不少分支都从不同的角度研究与它有关的问题."不动点"在高中数学教材中虽然没有出现,但是在最近几年的高考题中,以"不动点"理论为背景的试题经... 详细信息

"不动点"是荷兰数学家布劳威尔(Brouwer)首先提出的,它是现代数学的一个基本概念,现代数学中不少分支都从不同的角度研究与它有关的问题."不动点"在高中数学教材中虽然没有出现,但是在最近几年的高考题中,以"不动点"理论为背景的试题经常出现,值得大家重视.下面给出不动点的定义:

关键词：单调性求和计算累加法数学归纳法和函数线性二次