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初等数论教学中的辩证法——关于素性检验和正整数的素因数分解的一次课程设计

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高等数学研究 2023年第1期26卷 92-94,97页

作者：袁兰党高印芝河北师范大学数学科学学院河北省数学与交叉科学国际联合中心河北石家庄050024

本文就两类特殊的数——梅森数和费马数,将广泛应用于素性检验和正整数的素因数分解中的试除法和两类数的自身特点相结合,便有了这两类数的素性检验和素因数分解的更有效的方法,体现了一般和特殊的关系,是辩证法在数论中的体现.

关键词：素性检验素因数分解梅森数费马数

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形如2kp+1的数的素性检验(英文)

数学杂志 2005年第1期25卷 30-32页

作者：张韶华陈恭亮周光明杨金凤武汉大学数学与统计学院上海交大信息安全工程学院上海200052 湘潭大学数学与计算机科学学院湖南湘潭411105

本文初步探讨了如何快速检验一个大数 n是素数 (这里 n- 1含有大的素因子 )的算法问题以及如何生成一个大素数 p使得 p- 1有大的素因子 q的算法问题 .我们给出了形如 n=2 kp+ 1的数的素性检验的多项式时间算法 ,这里 p是一个给定的大素... 详细信息

本文初步探讨了如何快速检验一个大数 n是素数 (这里 n- 1含有大的素因子 )的算法问题以及如何生成一个大素数 p使得 p- 1有大的素因子 q的算法问题 .我们给出了形如 n=2 kp+ 1的数的素性检验的多项式时间算法 ,这里 p是一个给定的大素数 ,k是正整数满足 2 2 k( p- 1 ) /log2 ( p- 1 ) .特别地 ,我们给出了判定并生成一个安全素数 p的算法 .

关键词：素性检验多项式时间算法安全素数 RSA密码系统

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双曲线算术上的素性检验方法及其数值结果

双曲线算术上的素性检验方法及其数值结果

作者：杨小康云南大学

学位级别：硕士

自古以来,对于大素数的检验和判定就是人们所面临的最困难的问题之一。在历史上,费马、狄利克雷、勒让德和欧拉等优秀数学家,他们都曾投入大量的时间和精力去研究有关素数的问题。到了近代,著名数学家陈景润、陶哲轩以及张益唐等人也是... 详细信息

自古以来,对于大素数的检验和判定就是人们所面临的最困难的问题之一。在历史上,费马、狄利克雷、勒让德和欧拉等优秀数学家,他们都曾投入大量的时间和精力去研究有关素数的问题。到了近代,著名数学家陈景润、陶哲轩以及张益唐等人也是一直在不断努力地探索。随着计算机科学和网络技术的发展,素数在编码和现代公共密钥系统等方面更是被广泛应用。因此,对于大素数的研究在今天仍然是一件热门并且很有意义的事情。在引入双曲线的基本理论之后,本文提出了一种新的算术理论——双曲线算术。研究中发现了双曲线上的点在有限域中构成Abel群,根据经典结果可以进一步判定双曲线上的点在有限域上是一个循环群。另外,给出了双曲线的阶的计算公式。因为其阶具有简明的表达式,所以在双曲线上的计算比起在椭圆曲线上更加高效和简单。由单位双曲线可以扩充到双曲线丛,这进一步扩展了群的空间,使得应用在公钥密码体制中会得到更大的密钥空间,在素性检验中也有更多的选择。将新的双曲线算术应用于素性检验.本文提出了一种双曲线上的确定型的素性检验方法。这种方法将对模数的素性判定转化为对双曲线阶数的素性判定,并且可以通过反复运用该方法进一步缩小所需要判定的数,使得计算量更小,时间上更高效。此外,由于双曲线参数的可变性,本文提出的素性检验方法更灵活,可以应用在其他形式的素数如梅森素数的判定上。在研究的过程中,还发现了双曲线上的卡米歇尔现象,事实上,这也是基于双曲线算术的素性检验方法的一种推广。

关键词：双曲线素数素性检验

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基于模双曲线算术的素性检验方法研究

基于模双曲线算术的素性检验方法研究

作者：李慧恒云南大学

学位级别：硕士

素数是构成整数的基本因子,它在编码理论特别是近代密码学中有重要应用,因此判定一个大整数是否为素数是素数应用中最基本的问题。已有的方法通常是单纯的利用+1的分解或-1的分解来判定的素性,未将这两种分解充分利用起来,比如没有同时... 详细信息

素数是构成整数的基本因子,它在编码理论特别是近代密码学中有重要应用,因此判定一个大整数是否为素数是素数应用中最基本的问题。已有的方法通常是单纯的利用+1的分解或-1的分解来判定的素性,未将这两种分解充分利用起来,比如没有同时利用它们的分解。不仅如此,已有方法对算法实现的效率普遍不高,到目前为止,最大的已知素数尚未达到三千万位,越往上难度越大,其中不仅有算法本身的问题,还有计算机运行或运行模式方面的问题。本文利用模双曲线算术从理论和算法角度对素数判定问题展开探索和研究,提出了几个素性检验的方法并在计算机上编程实现。其中主要创新点:（1）模双曲线算术是近年才被发现的,本文首次将这个算术用于素性检验问题;（2）同时利用+1和-1的分解性质来判定的素性;（3）我们对Mersenne素数的判定算法比已有方法的效率提高了近50%。我们给出的素性判定方法,不仅有严谨的理论证明,还通过算法实现验证了它的正确性和有效性。同时也证明了模双曲线算术既是一个漂亮的数学理论,也具有重要的应用价值。

关键词：素数素性检验模双曲线

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素性检验、素数表达式与π(N)计算

数学学习与研究 2010年第3期 105-106页

作者：宁兆顺辽宁省营口市老边区政协办公室

基于素数的分布提出了可用于素性检验与素因数分解的定理，并进而得到素数、双生素数表达武，建立了π（Ⅳ）的计算方法．

关键词：素性检验素数表达式 π(x)计算

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常见素性检验算法的比较分析

北京电子科技学院学报 2021年第4期29卷 25-37页

作者：许斌张艳硕吕正宏北京电子科技学院北京市100070

在现代密码系统中,大素数对一些加密系统的建立来说有着不可忽视的作用,如RSA密码系统和椭圆曲线密码体制ECC,作为应用最广和最具有发展潜力的两个密码体系,其安全性都是建立在大素数之上。而大素数的检验显得尤为重要,常见的素性检验... 详细信息

在现代密码系统中,大素数对一些加密系统的建立来说有着不可忽视的作用,如RSA密码系统和椭圆曲线密码体制ECC,作为应用最广和最具有发展潜力的两个密码体系,其安全性都是建立在大素数之上。而大素数的检验显得尤为重要,常见的素性检验算法包括Fermat素性检验、Solovay-Strassen素性检验、Miller-Rabin素性检验、Pocklington素性检验、Lucas-Lehmer素性检验、Pepin素性检验、Lucas素性检验、AKS素性检验等算法。素性检验算法可按照待检验数的形式分为一般形式素性检验算法和特殊形式素性检验算法,也可以按照检验结果的准确性分为概率型素性检验算法以及确定型素性检验算法。本文介绍了上述常见的素性检验的理论算法,并从不同分类、软件实现等方面对这些素性检验算法进行了比较分析,最后得出Miller-Rabin素性检验算法的综合效率最高。

关键词：素性检验 Miller-Rabin素性检验伪素数比较分析