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数学进展 2024年第1期53卷 91-99页

作者：佘明韬孙翠芳安徽师范大学数学与统计学院安徽芜湖241002

设Z是整数集,h,k是正整数.对交换加群G的任意有限非空子集A={a_(0),a_(1),…,a_(k-1)},称■为A的h阶符号和集.本文给出当A{a_(k-1)}是特定的等差数列时,符号和集h_±A的基数如何随着最大元素ak-1的增加而变化的一些结果.

关键词：和集符号和集等差数列

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符号和集及相关问题的研究

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作者：佘明韬安徽师范大学

学位级别：硕士

令Z表示所有整数组成的集合,Z表示所有正整数组成的集合.设G是交换加群.对任意к,h∈ Z以及A={ɑ0,a1,...,ɑκ-1}（?）G,设（?）分别为A的h阶符号和集和h阶限制符号和集.本文主要研究了符号和集的直接问题和逆问题以及限制符号和集的... 详细信息

令Z表示所有整数组成的集合,Z表示所有正整数组成的集合.设G是交换加群.对任意к,h∈ Z以及A={ɑ0,a1,...,ɑκ-1}（?）G,设（?）分别为A的h阶符号和集和h阶限制符号和集.本文主要研究了符号和集的直接问题和逆问题以及限制符号和集的逆问题.在第二章,我们研究了∣h±A∣接近下界时集合A的结构,得到以下结论:（Ⅰ）设h≥2,k≥4,A（?）Z且|A|=k.若|h±A|=2（hk-h+2）,则下列结论中有一个成立:（1）h=3且存在d∈Z,使得A=d*{1,3,5,...,2k-1};（2）h=2且存在d∈Z,使得A=d*[1,k];（3）h=2且存在d∈Z,使得A=d*{1,3,...,2k-3,2k+1}.（Ⅱ）设h≥2,k≥4,A（?）Z-且|A|=k.若|h=A|=2（hk-h+3）,则下列结论中有一个成立:（1）h=5且存在d∈Z,使得A=d*{1,3,5,...,2k-1};（2）h=2且存在d∈Z,使得A=d*{1,3,...,2k-5,2k-1,2k+3};（3）h=2且存在d∈Z,使得A=d*{1,3,...,2k-3,2k+3};（4）h=2且存在d∈Z,使得A=d*{1,2,...,k-1,k+1};（5）h=2且存在d∈Z-,使得A=d*（{1,3,5,...,2k+1}{2i+1}）,其中i∈[0,k-2].（Ⅲ）设ε∈{2,3,4,5},h≥3,k≥5,A（?）Z-且|A|=k.若|h±A|=2hk-h+ε,则下列结论中有一个成立:（1）ε=4,h=3且存在d∈Z,使得A=d*[1,k];（2）ε=5,h=4 且存在d∈Z,使得A=d*[1,k];（3）ε=5,h=3 且存在d∈Z,使得A=d*{1,3,...,2k-5,2k-3,2k+1}.在第三章,我们研究了A＼{aк-1}是特殊的等差数列时∣h±A∣与集合A的最大元素ɑk-1的变化关系,得到以下结论:（Ⅳ）设h>3,k≥4.对任意非负整数b,令A=[1,к-1∣∪{k+b},b=q（2k-2）+r,其中q,r∈Z,r∈[0,2k-3].则若b∈[0,k-2],则|h±A|=2hk+2（h-1）b+1;若b∈[k-1,2k-3],则|h=A|=2hk+2（h-1）b-1;若q∈[1,h-2],则|h±A|=（2h+2q+2q）k+（2h-2q-2）b-2q一2q-3;若q≥h-1,则/h±A|=2h2（k-1）+2h-3.（Ⅴ）设h≥4,k≥4.对任意非负整数b,令A={1,3,...,2k-3}∪{2k-1+b}.（1）当2|b时,设b=q（4k-6）+r,其中q,r∈Z,r∈[0,4k-8].则若q=0,则|h±A|=h（2k-1）+（h-1）b+1;若q ∈[1,h-2],则|h±A|=（h+q+q）(2k-3)+（h-q-1）b+2h-1;若q≥h-1,则|h±A|=h2（2k一3）+2h-1.（2）当2（?）b时,设b=q（2k-3）+r,其中q,4∈Z,r∈[0,2k-4].则若q=0,则|h±A|=2h（2k-1）+（2h-3）b-2;若q∈[1,h-3],则|h±A|=（2h+q+q）(2k-3)+（2h-2q-3）b+（4h-2q-4）;若q≥h-2,则|h±A|=h2（2k-3）+2h-1.在第四章,我们研究了 |2（?）±A|接近下界时集合A的结构,得到以下结论:（Ⅵ）设k≥4,A（?）Z且|A|=k.若|2（?）=A|=4k-2,则下列结论中有一个成立:（1）存在d∈Z,使得A=d*[1,k],（2）存在d∈Z,使得A＝d*{1,3,5,...,2k+1}\{2l一1},其中l∈{k-1,k}.（Ⅶ）设k≥6,A（?）Z且|A|=k.若|2（?）A|=4k,则下列结论中有一个成立:（1）存在d∈Z,使得A=d*（[1,k+1]{l}）,其中l∈{k-1,k};（2）存在d∈Z,使得A=d*（{1,3,5,...,2k+1,2k+3}{2k-3,2k-1}）;（3）存在d∈Z,使得A=d*（{1,3,5,...,2k+1}{2i+1}）,其中i∈[0,k-3];（4）存在d∈Z,使得A=d*（{1,3,5,...,2k+1,2k+3}{l,2k+1}）,其中l∈ {2k-5,2k-3,2k-1}.

关键词：符号和集限制符号和集直接问题逆问题

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