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作者：苏树周华南理工大学

学位级别：硕士

对流扩散方程是一类基本的运动方程,它可以用来描述大气污染、河流污染、核废物污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象.但是,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统的求解公式,... 详细信息

对流扩散方程是一类基本的运动方程,它可以用来描述大气污染、河流污染、核废物污染中污染物质的分布,流体的流动和流体中热的传导等众多物理现象.但是,分数阶微分方程的求解方法不及整数阶微分方程那样完善,还没有比较系统的求解公式,目前对它的研究还处于初级阶段.和整数阶微分方程的情况一样,只有很少类型的分数阶微分方程能够求出解析解.大多数情况下,只能使用数值方法来进行计算.因此,对分数阶微分方程进行数值求解有着十分重要的意义.本文主要研究二维的双边空间分数阶对流扩散方程的数值解法.文中的分数阶导数均指Riemann-Liouville定义下的分数阶导数.主要工作如下:第一章,给出了分数阶微积分的历史简介、分数阶微分方程的研究意义以及分数阶微分方程数值解法的国内外研究现状.给出了一些预备知识,包括分数阶导数、Toepliiz矩阵与循环矩阵以及相关定理.第二章,研究了二维的双边空间分数阶对流扩散方程的有限差分解法.结合一些学者所提出的有限差分法的思想,构造出方程在时间和空间上均可以达到二阶精度的加权Crank-NNicolson((CNN)格式,该格式可使离散系统的系数矩阵严格对角占优.接着对格式的解的存在唯一性、稳定性及收敛性进行了分析.最后给出数值算例,验证了格式的有效性、精确性和可靠性.第三章,由于分数阶微分算子的非局部性质,对流扩散方程求解往往产生稠密甚至全系数矩阵.因此,这些方法的数值解往往需要O(N3)计算量和O(N2)存储量,N为网格点的数量.我们采用交替方向迭代法,以达到对二维方程降维的目的,构造出一种二维的交替方向加权Crank:-Nicolson(ADI-CN)格式.接着分析了格式稳定性及收敛性.最后给出数值算例,验证了格式的有效性、精确性和可靠性.第四章,研究了二维的双边空间分数阶对流扩散方程的快速的有限迭代方法.快速共轭度平方算法在和加权CNN格式保持相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每次迭代只需O(N)的存储量和O(N log N)的计算量.最后的数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.第五章,研究了二维的双边空间分数阶对流扩散方程的快速的有限差分解法.快速算法在和ADI-CNN格式保持相同精度的前提下,通过快速Fourier变换,每个时间步长只需O(N)的存储量和O(Nlog2N)的计算量.最后的数值算例验证了快速算法的有效性和精确性.

关键词：二维双边空间分数阶对流扩散方程移位grunwald公式快速傅里叶变换共轭梯度平方法 Toeplitz和循环矩阵

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