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几类时滞微分方程的秩一混沌吸引子与Bogdanov-Takens分支

几类时滞微分方程的秩一混沌吸引子与Bogdanov-Takens分支

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作者：罗志亮昆明理工大学

学位级别：硕士

时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖当前状态,又依赖过去历史的动力系统.由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在物理、化学、工程、信息、经济,特别是在生物数学等诸多领域都有重要的作用.随着对结构稳定系统的... 详细信息

时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖当前状态,又依赖过去历史的动力系统.由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在物理、化学、工程、信息、经济,特别是在生物数学等诸多领域都有重要的作用.随着对结构稳定系统的研究取得了突破性进展,对结构不稳定系统的研究受到了越来越多的关注,其中,对时滞系统中混沌的研究是一个重要的课题.近年来,在将秩一混沌理论应用于某些常微分方程的动力学研究中发现,渐近稳定的周期解在周期参数激励下存在秩一混沌吸引子.特别地,在生物系统中,通过能否观测到秩一混沌吸引子来研究生物种群数量的变化,在实际生产中有重要的意义,成为具有很大吸引力和挑战性的课题.时滞微分方程的Bogdanov-akens分支理论是另外一个重要课题,研究时滞方程的Bogdanov-akens分支有助于揭示时滞系统的复杂动力学行为,包括稳定极限环、连接两个双曲鞍点的异宿轨、双同宿环、超临界Hopf周期轨和共存双极限环.本文以时滞系统的Hopf分支理论为基础将常微分方程的秩一混沌吸引子理论推广到时滞微分方程中,研究了时滞微分方程的秩一混沌吸引子的存在性判断条件,并将其应用到具体的时滞系统中.利用时滞微分方程的中心流形定理和规范形理论,在B-T奇点附近的动力学特性可以通过时滞系统在零平衡点的二阶和三阶导数计算出来.主要工作叙述如下：1.综述了时滞微分方程及其分支理论的发展历史、研究现状、主要研究的方法和取得的成果,介绍了秩一混沌吸引子的发现、研究方法及其最新进展以及应用中心流形理论和规范型理论研究Bogdanov-akens分支.2.以常微分方程的秩一混沌理论为基础,结合时滞微分方程的Hopf分支理论,将秩一混沌吸引子理论推广到时滞微分方程中,给出了时滞微分方程的秩一混沌吸引子的存在性定理.介绍了时滞微分方程的Bogdanov-Takens分支理论基础.3.将时滞系统的秩一混沌理论基础应用到具体的Lotka-Volterra食饵-捕食系统中.对该系统应用中心流形定理和规范型理论推导了系统出现上临界Hopf分支的条件.通过对具有上临界Hopf分支的时滞Lotka-olterra系统加上周期性外力后,可以观测到秩一混沌吸引子.进行了数值模拟,得到了与理论分析一致的结果.4.考虑了具有离散和分布时滞的食饵-捕食的时滞系统,将秩一混沌理论基础应用到该系统中.对该系统应用中心流形定理和规范型理论推导了系统出现上临界Hopf分支的条件.通过对具有上临界Hopf分支的带离散和分布时滞食饵-捕食系统加上周期性外力后,可以观测到秩一混沌吸引子.进行了数值模拟,得到了与理论分析一致的结果.5.研究了具有负阻尼和反馈延迟的谐振子的B-T分支点.在中心流形上,分析了此系统出现Bogdanov-Takens分支的条件,给出了相应的证明.得到了出现相应的鞍结分支、Hopf分支、同宿轨分支的参数条件.

关键词：时滞微分方程周期激励秩一混沌吸引子 Bogdanov-Takens分支规范型

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两类时滞微分方程的局部Hopf分支与秩一混沌研究

两类时滞微分方程的局部Hopf分支与秩一混沌研究

引用

作者：朱心玉昆明理工大学

学位级别：硕士

时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统.由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在力学、生物学、神经网络、保密通讯和经济学等诸多领域都有重要应用.随着近些年对结构不稳定系... 详细信息

时滞微分方程是具有时间滞后的微分方程,它用于描述既依赖于当前状态也依赖于过去状态的发展系统.由于充分考虑了历史对当前状态的影响,它在力学、生物学、神经网络、保密通讯和经济学等诸多领域都有重要应用.随着近些年对结构不稳定系统研究的深入,时滞系统混沌的研究成为了一个重要的课题.在将秩一混沌理论应用于某些特定的时滞微分系统的研究中发现,出现上临界Hopf分支现象的时滞微分方程在周期性外力作用下存在秩一混沌吸引子.由于很多时滞系统中都可能出现上临界Hopf分支的现象,对时滞系统秩一混沌吸引子的研究是重要的课题.第一章介绍时滞微分方程分支理论及秩一混沌吸引子的发展历史、研究现状、主要的研究方法和取得的成果,介绍时滞微分方程Hopf分支理论和秩一混沌理论基础知识.第二章利用Hopf分支理论研究一类具有时滞并且带平方根项的食饵–捕食者模型的平衡点的稳定性和周期解.利用时滞τ作为分支参数,当时滞经过某一临界点时,平衡点的稳定性发生变化并且产生周期解.然后利用Hassard方法,得到分支周期解的分支方向及稳定性的判定条件.最后进行数值模验证理论分析的结果.第三章应用中心流形定理和规范型理论研究一类具有时滞的Yang-Chen系统,推导出系统出现上临界Hopf分支的条件.给具有上临界Hopf分支的时滞Yang-Chen系统加上周期激励项后,可以观测到秩一混沌吸引子.数值模拟与理论分析结果一致.

关键词：时滞微分方程 Hopf分支周期参数激励秩一混沌吸引子

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Hénon映射的秩—混沌与一类拟Lorenz方程的同宿缠结动力学

Hénon映射的秩—混沌与一类拟Lorenz方程的同宿缠结动力学

引用

作者：陈艳浙江师范大学

学位级别：硕士

本学位论文研究Henon映射在周期扰动下的混沌现象以及一类三维拟Lorenz方程的同宿缠结动力学.其内容主要分为两部分：第一部分研究离散系统的周期扰动动力学.秩一吸引子理论起源于Benedicks和Carleson对Henon映射的研究.该理论被系统地... 详细信息

本学位论文研究Henon映射在周期扰动下的混沌现象以及一类三维拟Lorenz方程的同宿缠结动力学.其内容主要分为两部分：第一部分研究离散系统的周期扰动动力学.秩一吸引子理论起源于Benedicks和Carleson对Henon映射的研究.该理论被系统地发展成了秩一吸引子理论,并用于研究和分析具体的微分方程.具有极限环自治系统的周期脉冲参数激励动力学是秩一理论在微分方程中的一个应用.以Hopf分支极限环为例,从理论分析和数值模拟两方面证明了秩一混沌吸引子的存在性.之后对具有一般极限环自治系统的周期脉冲参数激励动力学进行研究.通过定义旋转因子,证明在一定条件下,一般极限环也存在秩一混沌吸引子.基于具有极限环的连续系统出现秩一混沌的思想,我们研究离散系统的周期解在周期扰动下的动力学.针对Henon映射,首先确定周期解的存在性,再作周期扰动,结果表明离散系统在周期扰动下也出现类似于连续系统的秩一混沌动力学.第二部分主要研究一类三维拟Lorenz方程的同宿缠结动力学.通过建立扭扩相空间的返回映射对二维同宿缠结作了系统的研究.返回映射主要存在四类动力学现象：过渡缠结、周期汇以及SRB测度下的似Henon吸引子和秩一吸引子.这些动力学现象组成固定的动力学模式,该模式呈现一定的周期性.对于三维及三维以上的同宿缠结理论,目前的研究结果仍然很少.本论文从数值模拟的角度研究三维拟Lorenz方程的同宿缠结动力学.结果得到三类动力学现象：周期汇,SRB测度下的秩一吸引子和似Henon吸引子.同时,这三类动力学现象也组成一个固定的动力学模式并呈现周期性.

关键词： SRB测度 Henon映射秩一混沌吸引子同宿缠结拟Lorenz方程似Henon吸引子周期汇

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