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广义(2+1)维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的非线性波解及其动力学分析（英文）

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应用数学 2024年第4期 1103-1113页

作者：孙俊秀王云虎上海海事大学理学院

基于Hirota双线性方法,本文得到广义(2+1)-维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的N孤子解、呼吸子解、lump解以及相互作用解,并通过图形展示了这些解的动力学特性,特别是发现了lump解与单条纹孤子相互作用过程中的聚变和裂变现象.

关键词： Hirota双线性方法 N-孤子解呼吸子解 Lump解相互作用解广义(2+1)-维Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程

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基于Hirota方法微分方程的解的研究

基于Hirota方法微分方程的解的研究

作者：王璇北京化工大学

学位级别：硕士

非线性现象广泛存在于等离子体物理、固态物理学、流体力学等领域,而非线性偏微分方程的精确解是理解这些复杂的非线性现象的一种重要的科学手段。为了获得偏微分方程的精确解,研究者们提出了许多有效的方法,例如行波法、达布变换法、... 详细信息

非线性现象广泛存在于等离子体物理、固态物理学、流体力学等领域,而非线性偏微分方程的精确解是理解这些复杂的非线性现象的一种重要的科学手段。为了获得偏微分方程的精确解,研究者们提出了许多有效的方法,例如行波法、达布变换法、贝克隆变换法、广田直接法等。本文主要是利用Hirota方法,并结合长波极限和维数约化技巧对两类方程的精确解进行研究,构造它们的孤子解、块解和相互作用解。第一部分,首先介绍了孤立子的研究背景、现状及其研究的重要意义。然后对求行波解法、达布变换法、贝克隆变换法等方法进行了描述。第二部分,介绍了本论文所用到的Hirota方法的理论知识。第三部分,利用Hirota方法构造一个推广的(2+1)-维泽田-小寺方程的精确解。引入对数变换,将方程化成双线性方程。通过这个双线性形式进一步构造得出双线性方程的1-孤子解、2-孤子解、3-孤子解乃至N-孤子解。这证明原方程在Hirota意义下是可积的,同时原方程的解也得到了。在N-孤子解的基础上,利用长波极限技巧得到方程的1-块解、2-块解、3-块解乃至M-块解。此外,通过对N-孤子解取共轭复数,得到了广义的(2+1)-维泽田-小寺方程的一些相互作用解,并通过图象分析了解的动态演化行为。第四部分是通过对数有理变换得到广义的(2+1)-维卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利势方程的Hirota双线性形式。同理于第二部分,首先通过构造得到方程的N-孤子解,然后利用长波极限技巧得到方程的M-块解,对解中的参数取共轭复数得到了周期解和相互作用解。同时,通过平方和函数和维数约化技巧,成功构造了三角模式-块解,这些解的动态演化行为通过图像得到了很好的解释。第五部分,我们对本论文进行了总结和对未来研究的展望。

关键词：广义(2+1)-维泽田-小寺方程广义(2+1)-维卡东穆塞夫-彼得韦亚斯维利势方程 Hirota方法孤子解块解相互作用解模式-块解

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一类(2+1)-维非线性波方程的精确解

南宁师范大学学报（自然科学版） 2024年第2期41卷 19-29页

作者：熊宇璐崔静易黄在堂中国地质大学(武汉)数学与物理学院湖北武汉430074 南宁师范大学数学与统计学院广西南宁530100

该文通过不同的方法得到了(2+1)-维非线性波方程的不同类型的精确解。首先运用同宿测试法,得到了方程的呼吸解和孤立波解。运用三波法,得到了单、双呼吸解,然后通过参数极限法,将这两种解退化得到lump解。其次,在N-孤子解的基础上,分别... 详细信息

该文通过不同的方法得到了(2+1)-维非线性波方程的不同类型的精确解。首先运用同宿测试法,得到了方程的呼吸解和孤立波解。运用三波法,得到了单、双呼吸解,然后通过参数极限法,将这两种解退化得到lump解。其次,在N-孤子解的基础上,分别添加不同的约束条件,得到了Q-呼吸解和Y-型孤子解。最后,在Y-型孤子解的基础上增加了约束条件,得到了呼吸解与Y-型孤子解组成的相互作用解。

关键词： (2+1)-维非线性波方程 lump解 Q-呼吸解 Y-型孤子解相互作用解

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CRE方法在修正耦合KdV方程中的应用

南开大学学报（自然科学版） 2022年第1期55卷 1-7页

作者：史婷婷西北大学数学学院陕西西安710127

通过一致Riccati展开法证明修正耦合KdV方程的CRE可解性,结合方程相容性条件的不同形式的解,构造修正耦合KdV方程的新的相互作用解,并通过选取适当参数给出相应解的结构图.研究结果丰富了修正耦合KdV方程的精确解的类型.

关键词：一致Riccati展开法修正耦合KdV方程相互作用解

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几类孤子方程精确解的研究

几类孤子方程精确解的研究

作者：关茹江苏大学

学位级别：硕士

孤立子是非线性科学中重要的研究方向之一,它反映了一类稳定的自然现象,在流体力学、非线性光学、生物学、海洋科学、固态物理等许多自然科学中有着广泛的应用.因此,求解孤子方程的解变得格外重要.本文利用Hirota双线性方法和广义双线... 详细信息

孤立子是非线性科学中重要的研究方向之一,它反映了一类稳定的自然现象,在流体力学、非线性光学、生物学、海洋科学、固态物理等许多自然科学中有着广泛的应用.因此,求解孤子方程的解变得格外重要.本文利用Hirota双线性方法和广义双线性方法对几类孤子方程的精确解展开探讨,构造出其孤子解、lump解、呼吸子解和几类相互作用解.第一部分介绍了孤立子的研究背景、研究方法和研究内容.对Hirota双线性方法、广义双线性方法和正二次函数法进行了简单阐述,列举出一些常见的双线性导数及其性质.第二部分基于Hirota双线性方法构造Boussinesq方程的精确解.首先引入变量变换获得方程的双线性表达式,利用其形式进一步构造出方程单孤子解、双孤子解、三孤子解直至N孤子解.其次根据正二次函数法构造出方程lump解.此外,还选择了两种测试函数,并建立了Boussinesq方程一些新的相互作用解,并结合图像分析了解的动态演化行为.第三部分研究(3+1)维BKP-Boussinesq方程的精确解.首先对Hirota双线性方法进行推广,得到广义双线性算子.选取p=3的情况,获得BKP-Boussinesq方程的广义双线性形式,在其双线性表达式的基础上构造出方程的lump解和lump-soliton解,并结合图像分析了孤子解的性质.第四部分构造出广义(3+1)维KP方程的lump-soliton解和呼吸子解.同样利用Hirota双线性方法得到广义(3+1)维KP方程的双线性形式,并对其进行约化处理,约化为z=x和z=y两种情况.求解出方程的lump-soliton解和呼吸子解,最后结合图像分析其动力学性质特征.

关键词： Hirota双线性方法孤子解 Lump解呼吸子解相互作用解

三类重要的非线性方程的孤子分子及相关问题的研究

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三类重要的非线性方程的孤子分子及相关问题的研究

作者：齐家馨南京农业大学

学位级别：硕士

近年来,科学家们发现了一种新奇的局域波结构――孤子分子.它是一种束缚态的孤子,通常表现出类似分子的动力学特性,有的学者也称之为多孤子复合态.孤子分子的研究为研究孤子之间的相互作用提供了直接的途径,孤子分子的形成和分裂与孤子... 详细信息

近年来,科学家们发现了一种新奇的局域波结构――孤子分子.它是一种束缚态的孤子,通常表现出类似分子的动力学特性,有的学者也称之为多孤子复合态.孤子分子的研究为研究孤子之间的相互作用提供了直接的途径,孤子分子的形成和分裂与孤子碰撞、孤子飞溅、孤子雨和孤子的俘获等问题密切相关.孤子分子除了对孤子物理的基本理解具有重要意义外,还提供了超越二进制编码限制传输光数据的可能性.因此,非线性方程孤子分子的研究在非线性物理理论及实验应用上都具有重要的意义.Konopelchenko-Dubrovsky-Kaup-Kupershmidt(KDKK)方程、Boiti-Leon-Manna-Pempi nelli(BLMP)方程和Sawada-Kotera(SK)方程是三个重要的非线性可积模型.在本文中,我们基于符号计算软件Maple,通过引入共振机制,构造了这三个重要非线性方程的孤子分子.同时,通过对参数施加复共轭限制和长波极限,获得了由孤子分子和高阶呼吸子及高阶lump等所组成的混合解,并分析了所获得解的动力学行为.本文所提出的方法具有一般性,可以有效地用来构造其它非线性方程的孤子分子解,所得研究结果将可以更好地帮助人们深刻理解非线性波的传播行为.本文共分为四章,章节安排如下:在第一章中,简述了孤立子理论的发展历史和研究现状;介绍了非线性方程求解的若干重要的方法;阐述了孤子分子的发展与现状,同时介绍了国内外专家学者的相关成果.在第二章中,我们首先使用速度共振机制,构造了(3+1)维KDKK方程的孤子分子、非对称孤子以及由不同孤子分子所组成的混合解,并利用渐进分析的方法,证明了不同孤子分子之间的相互作用是非弹性的.然后,通过使用速度共振和复共轭约束,获得了由孤子分子与高阶呼吸子所组成的混合解,数值结果表明:这类解具有更复杂的动力学性质.最后,基于长波极限和退化呼吸子的方法,获得了由孤子分子和高阶lump所组成的混合解.在第三章中,我们首先基于速度共振/模共振,构造了(2+1)维BLMP方程的呼吸子-孤子分子/呼吸子分子及其与不同局域波之间的相互作用解.然后,基于非线性动力学,从理论上和数值上对这些解的结构和动力学行为进行了分析和讨论.在第四章中,我们采用退化呼吸子的方法,获得了(2+1)维SK方程的lump解.然后基于该退化原理,提出了退化呼吸子分子的方法,以此构造了一种运动速度相等的特殊的2-lump解.同时构造了由特殊的2-lump所组成的一些相互作用解,利用数值模拟与图形分析,讨论了这些解的动力学行为.最后,对本文所研究的内容进行了总结与展望.

关键词：非线性方程孤子分子相互作用解退化呼吸子分子动力学行为

高维非线性演化方程高阶及多波解的符号计算研究

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高维非线性演化方程高阶及多波解的符号计算研究

作者：秦宇昕华东师范大学

学位级别：硕士

非线性演化方程是一类非常重要的数学物理模型,可用于描述许许多多的自然现象。随着人们对自然界探索和研究的不断深入,新的非线性方程源源不断地被发现和提出,因此,非线性演化方程研究的重要性不言而喻。计算机科学的飞速发展,为符号... 详细信息

非线性演化方程是一类非常重要的数学物理模型,可用于描述许许多多的自然现象。随着人们对自然界探索和研究的不断深入,新的非线性方程源源不断地被发现和提出,因此,非线性演化方程研究的重要性不言而喻。计算机科学的飞速发展,为符号计算的研究提供了强有力的技术支持,而符号计算的蓬勃发展,大大提升了人们的计算能力。近年来,人们对非线性演化方程的研究也逐步从低维向高维拓展和深入。本文旨在借助于符号计算平台Maple,构造高维非线性演化方程更复杂的高阶和多波相互作用解。主要工作包含以下三方面:第一部分基于新算法和新策略构造常系数高维非线性演化方程的高阶多波相互作用解。纵观近几年的研究成果,大部分关于高维非线性演化方程相互作用波解的工作都是基于直接代数方法开展的。该方法思路简单,通过先验假设解的形式,从而将原方程的求解问题转化成非线性代数方程组的求解问题。然而,如何有效控制中间表达式的急剧膨胀是符号计算的一大难题。我们课题组近几年主要致力于该方向的策略和算法研究。针对直接代数方法,我们提出了继承求解策略,并基于孤子解,进一步发展出了构造多波相互作用解的新算法,该算法首次可计算出任意高阶的孤子、周期波及有理波间的相互作用解。本文进一步系统和优化了相关算法,利用优化后的算法,求解了(3+1)维广义B-type KadomtsevPetviashvili(BKP)方程和(3+1)维广义Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程多种类型的多波相互作用解。第二部分将我们提出的新算法推广应用于构造变系数高维非线性演化方程的高阶多波相互作用解。由于客观世界中各种介质具有不均匀性,因此,变系数非线性演化方程与实际科学应用间的关系往往比常系数非线性演化方程更密切。然而,变系数的引入为非线性微分方程的精确解构造带来了新的难题,到目前为止,关于高维变系数非线性演化方程相互作用解的报道并不多见。本文将我们提出的新算法和优化策略推广应用到含有时间依赖系数的高维变系数非线性演化方程,求解了(3+1)维变系数Boiti-Leon-Manna-Pempinelli(BLMP)方程及(2+1)维变系数Korteweg-de Vries(Kd V)方程的多种复杂多波相互作用解。除此之外,本文还研究了时间依赖系数的取值对高维变系数非线性演化方程解的影响。第三部分将我们提出的新算法推广到非线性行波变量的情形,构造高维非线性演化方程新型的孤子解及多波解。在以往构造非线性系统的非线性波解时,引入的行波变量基本都是关于自变量的线性函数,鲜有工作考虑其他类型的行波变量。本文通过考虑新的非线性行波变量,基于我们的新算法和新策略构造了含有时变系数的(3+1)维BLMP方程和(2+1)维柱形Kadomtsev-Petviashvili(c KP)方程的新型马蹄形孤子解,进而构造出新类型的多波相互作用解。这些新型多波相互作用解在一定程度上丰富了变系数非线性演化方程解的类型。

关键词：非线性演化方程直接代数方法相互作用解时间依赖系数非线性行波变量

若干可积非局域非线性方程的孤子解及其长时间渐近分析

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若干可积非局域非线性方程的孤子解及其长时间渐近分析

作者：张文新北京信息科技大学

学位级别：硕士

非局域系统在数学物理的理论研究和非线性科学领域的应用中具有重要意义,非局域方程解的结构与性质明显不同于局域方程,本文主要围绕着空间和(或)时间耦合的非局域可积系统,利用Hirota双线性方法、反散射方法以及直接简化方法,研究非局... 详细信息

非局域系统在数学物理的理论研究和非线性科学领域的应用中具有重要意义,非局域方程解的结构与性质明显不同于局域方程,本文主要围绕着空间和(或)时间耦合的非局域可积系统,利用Hirota双线性方法、反散射方法以及直接简化方法,研究非局域方程的孤子解及其动力学行为,并对多孤子解进行长时间渐近行为分析,进而研究多孤子之间的相互作用。本文基于多种研究方法,开展以下研究工作:首先,利用Hirota双线性方法研究反空间、反时间和反空时非局域复的修正的Korteweg-de Vries(cmKdV)方程和非局域Fokas-Lenells(FL)方程,并分别给出三种非局域cmKdV方程和非局域FL方程的单孤子和多孤子解的表达式。基于三类非局域方程之间的变量变换,分析它们的Lax对以及无穷守恒量。通过图像描述三类非局域方程的单孤子解和多孤子解,并分析其动力学行为。对反空间非局域FL方程的二孤子解和三孤子解进行长时间渐近行为分析,研究多孤子解之间的弹性相互作用或非弹性相互作用。其次,基于Riemann-Hilbert问题利用反散射方法研究反空时非局域SasaSatsuma方程,在不同于局域系统的离散特征值和特征向量的新对称性约束下,求其孤子解,并利用图像形象化地展示了这些孤子解的动力学特性,进一步分析二孤子解的长时间渐近行为。耦合的二分量Sasa-Satsuma系统在时空位移非局域PT对称约束下,转化为存在时空位移非局域项的非局域方程。应用直接简化方法于已求得的二分量Sasa-Satsuma系统的N孤子解,结合约束条件求解位移非局域方程的解,并对二孤子解进行长时间渐近行为分析。本文所利用的研究方法对于求解非局域非线性方程具有可推广性和适用性,研究结果能够更好地解释经典方程所不能解释的一些动力学特征,这有助于更好地理解和探索非线性介质中非局域系统的新的物理现象和数学性质。

关键词：非局域非线性方程 Hirota双线性方法反散射方法对称性约束孤子解相互作用解渐近行为分析

基于符号计算的非线性发展方程多种精确解的研究

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基于符号计算的非线性发展方程多种精确解的研究

作者：马文菠内蒙古工业大学

学位级别：硕士

作为非线性偏微分方程(NLPDEs)的重要组成部分,非线性发展方程(组)(NLEEs)通常用于描述随时间而演变的过程.这类方程的研究对象源自诸多领域,例如:生命科学、信息科学、化学、物理学等.对于具体的NLEEs,如果能够得到其精确解析解,将为... 详细信息

作为非线性偏微分方程(NLPDEs)的重要组成部分,非线性发展方程(组)(NLEEs)通常用于描述随时间而演变的过程.这类方程的研究对象源自诸多领域,例如:生命科学、信息科学、化学、物理学等.对于具体的NLEEs,如果能够得到其精确解析解,将为人们搞清自然现象的规律,准确解释自然界中非线性现象提供极大的帮助.近年来,随着符号计算的迅速发展,NLEEs精确解的求解逐渐成为一个重要的研究领域,许多求精确解的有效方法纷纷呈现.这些方法各有各的特点,也有内在的联系.相对于反散射方法而言,Hirota双线性方法被视为是一种求解NLEEs的直接方法,这种方法的优点在于它是一种代数而不是解析的方法.此外,双线性神经网络方法(BNNM)是一种将Hirota双线性方法和神经网络模型相结合得到非线性系统精确解析解的最新方法.由于神经网络模型具有较强的非线性特性,因此其在求解NLEEs中的应用受到了研究者的广泛关注.本文主要运用双线性神经网络方法来求解NLEEs的多种精确解析解,如怪波解、周期波解、呼吸解、亮暗孤子解和相互作用解,并通过图形进一步分析了其几何形态、物理意义和动力学特性.具体研究内容如下:第一章,简要介绍了 Hirota双线性方法和双线性神经网络方法,并且阐述了怪波解、周期波解、呼吸解、亮暗孤子解和相互作用解的研究与发展.第二章,利用双线性神经网络方法和符号计算软件Maple,得到了(2+1)维复合孤子方程和(1+1)维Benjamin-Ono方程的多怪波解,其中包括1-怪波解,3-怪波解和6-怪波解,并通过图形分析了解的动力学形态.第三章,利用双线性神经网络方法研究了(2+1)维Ito方程和(3+1)维B-type Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq方程(BKP-Boussinesq方程)的亮暗孤子解和呼吸解.对于(2+1)维Ito方程,我们构造了[3-2-3]模型,通过假设不同的的激活函数分别得到了方程的亮暗孤子解和呼吸解;对于(3+1)维BKP-Boussinesq方程,我们构造了[4-2-3]和[4-3-3]模型,通过假设特定的激活函数得到了方程的亮暗孤子解和呼吸解.最后给出了这些解在三维空间中的运动轨迹及趋势.第四章,基于双线性神经网络方法,通过构造神经网络模型和相应的张量公式,给出了(3+1)维Hirota双线性方程(HB方程)、(2+1)维Ito方程和(3+1)维BKP-Boussinesq方程的几种相互作用解.特别地,我们得到了(2+1)维Ito方程的分形孤子解和周期波解,并且得到了 BKP-Boussinesq方程的周期波解和怪波解.最后,通过图形进一步分析了这些解的物理意义.第五章,对全文的工作进行了总结,提出了在运用计算机进行符号计算和研究的过程中遇到的困难,对以后研究的工作做出了展望.

关键词： Hirota双线性方法双线性神经网络方法怪波解周期波解呼吸解亮暗孤子解相互作用解