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拓扑流体力学与量子涡旋的重联相互作用

拓扑流体力学与量子涡旋的重联相互作用

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作者：关昊北京工业大学

学位级别：硕士

拓扑流体力学是理性力学的重要分支,有重要的理论价值,其独特作用在数学物理、计算生物学、天体物理等多个领域日益凸显。本论文第一部分(第1、2章)简要回顾该领域的发展史,突出了学科方向的最新进展。作为预备知识,介绍了研究中将要用... 详细信息

拓扑流体力学是理性力学的重要分支,有重要的理论价值,其独特作用在数学物理、计算生物学、天体物理等多个领域日益凸显。本论文第一部分(第1、2章)简要回顾该领域的发展史,突出了学科方向的最新进展。作为预备知识,介绍了研究中将要用到的拓扑学知识,重点放在流体螺旋度的拓扑内涵,指出它可以用于构造自缠绕数、高斯互缠绕数等拓扑不变量。特别是,基于螺旋度可以构造纽结多项式,如Jones、HOMFLYPT等多项式。第二部分(第3、4章)是本论文的重点,主要是对理论模型的数值模拟。论文研究了量子涡旋演化的基础模型即Gross-Pitaevskii(GP)方程,并求得一定初始条件之下的数值解。具体内容包括初条件的选择和构建,超流体系统中对涡旋重链接过程的重现和检验,等等。主要方法是基于GP方程的二维解,构造出特定拓扑结构的玻色-爱因斯坦凝聚体的量子涡旋链环。对于具有不同缠绕数的对称基本链环涡旋,以非等距快速傅里叶变换(NFFT)为工具进行数值求解,推演其时空演化。第三部分(第5章)给出本论文的结论与展望,其中展望部分包括我们正在进行的一项关于三叶结的数值模拟工作。涡旋重联是湍流这一重大课题的子问题。它是一种拓扑非守恒变化,过程中往往伴随着能量的改变。从拓扑学的角度研究重联在湍流问题中扮演什么角色,就需要首先确认过程中哪些拓扑不变量不会发生变化、哪些会变化。本论文的第一个创新点在于:通过监控演化过程中的几个典型物理量和拓扑量,最终验证了缠绕数在流体Hopf链环的量子涡旋结构中的确实能够保持拓扑不变性与对称性。这样一来,下一步研究中需要凸显重联中出现的阶梯化跃变时,就需选取缠绕数以外的拓扑不变量(比如基于螺旋度构造出来的纽结多项式等不变量)。论文的第二个创新点在于:研究过程中还发现平庸螺旋度(螺旋度在无旋部分的取值)可作为检测指标来判断边界条件等环境变量是否合理,故平庸螺旋度是良好的数值稳定性检验指标。模型所获结果的鲁棒性(robustness)也可使用包括这一手段在内的方法给出检验。

关键词：理性流体力学中的拓扑数学方法超流体量子涡旋的重联流体螺旋度数值模拟

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