检索结果-南通市图书馆

一般拓扑学从19世纪由庞加莱开创为一个独立的科学分支至现在已经历了一百多年的发展历史。虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数学学科如分析学，代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多年，特别是20世纪40年代到70年代的蓬勃发展，一般拓扑学日趋成熟与完善。如今，拓扑学的理论，成果和方法已应用或渗透到几乎每一个重要的数学领域以及物理，化学，生物乃至工程技术中。在一般拓扑学的研究和发展中，拓扑空间的可度量化问题始终是一个中心课题，这是因为度量空间具有许多良好的性质，在数学领域内有着重要的应用。但是在众多的重要的拓扑空间中能够度量化的毕竟是极小部分，因此研究与度量空间密切相关的广义度量空间具有重要意义。在广义度量空间理论研究中，映射和覆盖的方法是一种非常重要的工具，特别是点可数覆盖起着举足轻重的作用，例如，1944年法国数学大师Dieudonné引进的仿紧性概念使用的就是一类特殊的点可数覆盖。比较重要的覆盖有点可数基，弱基，k网，序列邻域网;比较重要的映射有商s映射，闭s映射，开映射，开闭映射，紧开映射，完备映射，可数双商映射，紧映射。因此研究一些覆盖之间的关系，一些映射之间关系以及覆盖在映射下的性质有着重要意义。本文不试图去定义新的广义度量空间类以及新的覆盖与映射，这是因为近几十年拓扑学的发展，各种形式的“推广”所定义的空间类已达到泛滥的程度，新空间的不断引入，过细的划分使得拓扑学似乎发展到了空洞的理论边缘。本文试图用已有的拓扑空间与理论去讨论拓扑学和集合论中的一些重要问题，并且解决了文献【1】中所提出的一个公开问题，这也是本文最精彩的部分。同时，本文用拓扑空间的一些性质来讨论集合论中的可数序数指数运算问题也比较精彩。此外，本文给出了大量的拓扑空间实例，从而使得其理论不那么空洞无物。注意本文所论拓扑空间均满足T分离性。本文第二章主要包含两方面的内容：半层空间和点可数覆盖。1970年，Ceede引入了一类重要的广义度量空间：半层空间，在此章中，我们给出了半层空间的一个等价刻画：拓扑空间(X,T)为半层的当且仅当存在函数g: N×X→T满足如下的两个条件： (1)x∈X，{x}=∩{g(n，x)：n∈N} (2)如x∈X，{x}X满足n∈N，x∈g(n，x)，则x→x 鉴于g-函数在层空间及半层空间所起的重要作用，我们证明了关于g-函数的两个等价条件：令g为空间(X,T)的一个g-函数，则如下的两个条件等价： (1)如y∈X\H∈T，则存在m∈N使yg(m，H)=g(m，x)。 11 (2)对X中的点X及序歹］｛工。L若工Eg(。，gn;贝ig。＋工．第二章中关于点可数覆盖的主要结果是：如 X具有的可数覆盖满足问;则 X必为 snf可数空间。 1995年，文献【1】中提出了一个公开问题：若尸是正则空间X的弱基，那么尸是否为X的k网？本文第三章解决了这一公开问题。具体一点讲就是我们给出了一个具体拓扑空间X的一个弱基P，但p不为X的k 网。也就是说此问题的答案是否定的。接着我们讨论了对空间或弱基附加怎样的条件，弱基就成为k网了，这方面有如下两个重要结果： 1．若p是厂rechet空间X的弱基，则p是X的k网。 2．d。P是空间X6声、可数弱基，则p为X＊k网。这种对空间或覆盖附加一定条件从而使空间或覆盖满足一定性质也是我们研究一般拓扑学的通常方法。 m世纪公理集合论的蓬勃发展有力的促进了拓扑学的发展，特别是其基数和序数理论为拓扑学提供了丰富的拓扑空间实例，使一般拓扑学变得更加精彩生动。自然，拓扑学的发展反过来也应促进集合论的发展，但利用拓扑学的理论来讨论集合论中的一些问题，这方面的论文和成果比较少见。本文第四章有意做这方面的尝试，主要利用卢、可数基性质来讨论叫中可数序数指数运算问题。主要结果如下： 1．满足等式尸＝炉的卢三呐可以具体的给出两种不同的形式。 2．利用由所有可数序数组成的线性序拓扑空间叽不具有点可数基这一性质证明了满足等式q＝。0的卢三。;除了这两种形式刊－还存在其他形式。这一方面有助于我们理解。;中序数的指数运算，另一方面也说明叫中序数指数的才造是非常复杂的。第五章主要讨论点可数基的映射性质和一些映射之间的关系，主要结果有： 1．令／：x—Y为商S－映射，如X具有卢、可数基，则Y具有卢、