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耦合重排不等式及其在薛定谔方程中的应用

耦合重排不等式及其在薛定谔方程中的应用

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作者：裴苗苗湖南大学

学位级别：硕士

随着科技的发展,偏微分方程凭借自身优势逐渐融入人们的生活和工作中.与此同时,越来越多的数学家也开始关注其中的非线性Schr(?)dinger方程.本文主要研究的内容是具有Hartree型非线性项的非线性伪相对论型Schr(?)dinger方程.我们基于变... 详细信息

随着科技的发展,偏微分方程凭借自身优势逐渐融入人们的生活和工作中.与此同时,越来越多的数学家也开始关注其中的非线性Schr(?)dinger方程.本文主要研究的内容是具有Hartree型非线性项的非线性伪相对论型Schr(?)dinger方程.我们基于变分法来研究它们的驻波解.一方面,我们证明了几个重要的重排不等式,为更进一步研究它们在非线性伪相对论性Schr(?)dinger方程中的应用提供有力的理论依据.首先,我们总结了函数空间、重排函数以及耦合重排函数的一些概念、性质等基本事实,并给出了相应的基本不等式和重要定理.其次,我们证明了Hartree型非线性项、分数阶拉普拉斯算子以及一般伪相对论性Schr(?)dinger算子的重排不等式和耦合重排不等式.最后,我们推导出能量重排不等式和严格的能量耦合重排不等式.此外,这些不等式为证明能量的次可加性条件以及证明基态的存在性和性质提供了依据.另一方面,我们给出了耦合重排不等式在非线性伪相对论性Schr(?)dinger方程的应用.首先,我们证明了约束极小化问题的一些性质,特别是推出了次可加性条件.通常情况下,次可加性条件可用缩放参数来表示,并且它在约束最小化问题中起着排除紧性缺失的关键作用.由于本文考虑的方程中的非齐次项和非局部项,我们无法使用缩放参数,而是使用两个新的耦合重排不等式来排除约束极小化问题中紧性的缺失.其次,在次临界的情况下,我们得到了带有Hartree型非线性项的伪相对论性Schr(?)dinger方程的基态的存在性.最后,在p=2的情况下,我们应用集中紧性原理得到了非线性伪相对论型Schr(?)dinger方程的解的紧性和轨道稳定性.

关键词： Hartree型非线性项伪相对论性Schr(?)dinger方程变分法约束极小化问题耦合重排不等式次可加性条件集中紧性原理

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