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数学物理学报（A辑） 2024年第2期44卷 476-483页

作者：刘鑫艳李晓光四川师范大学数学科学学院&可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室成都610066

该文主要研究一类非齐次非线性Schrödinger方程在质量次临界条件下驻波的存在性和轨道稳定性.通过一个变分原理,讨论了约束变分问题极小化序列的紧性,并由此得到驻波的存在性,进一步证明了驻波的轨道稳定性.

关键词：极小化序列紧性驻波的轨道稳定性

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带有小参数变分问题的极小化序列

应用数学和力学 2009年第6期30卷 648-654页

作者：倪明康林武忠华东师范大学数学系上海200062 上海高校计算科学E-研究院上海交通大学研究所上海200030

针对一类含有小参数的变分问题构造了零次渐近解,并证明了当小参数趋向于0时,该零次渐近解就是原问题的极小化序列.

关键词：小参数变分问题极小化序列

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广义LQ最优控制问题的极小化序列

应用数学与计算数学学报 2014年第3期28卷 266-274页

作者：朱礼冬朱经浩同济大学数学系上海200092

将经典LQ问题的评价泛函中关于控制变量的二次型推广为一类偶次多项式,证明了这类广义LQ无约束最优控制问题的一个等价扩张逼近可由一列半径递增的球约束最优控制问题加以实现.进而利用P0ntryagin极值原理建立相应的球约束最优控制问题... 详细信息

将经典LQ问题的评价泛函中关于控制变量的二次型推广为一类偶次多项式,证明了这类广义LQ无约束最优控制问题的一个等价扩张逼近可由一列半径递增的球约束最优控制问题加以实现.进而利用P0ntryagin极值原理建立相应的球约束最优控制问题的二次规划,并通过Canonical倒向微分流及不动点定理,求解常微分方程边值问题,得到球约束最优控制问题的最优值.随着约束球半径趋于无穷大,形成原广义LQ最优控制问题的一个极小化序列,从而得到原问题的最优值.

关键词： LQ最优控制问题多项式形式 Pontryagin极值原理倒向微分流极小化序列

Kirchhoff型方程约束基态解的存在性

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西北师范大学学报（自然科学版） 2022年第3期58卷 25-30页

作者：陈宏王淑丽郭祖记太原理工大学数学学院山西太原030024

利用变分法中的极小化序列和消失引理方法,证明了带有一般非线性项的Kirchhoff方程约束基态解的存在性.

关键词： Kirchhoff方程消失引理极小化序列约束基态解变分法

带Hartree项的渐近3次非线性Kirchhoff系统的基态变号解

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带Hartree项的渐近3次非线性Kirchhoff系统的基态变号解

作者：贾淑婧山西大学

学位级别：硕士

Kirchhoff方程是一类非常重要的非线性偏微分方程,许多物理现象都可以借助它来描述,例如物理学中的直流电路,交流电路等问题.因此,研究此类问题具有重大的理论意义和实际价值.本文通过变号Nehari流形上的极小化序列,定量形变引理以及拓... 详细信息

Kirchhoff方程是一类非常重要的非线性偏微分方程,许多物理现象都可以借助它来描述,例如物理学中的直流电路,交流电路等问题.因此,研究此类问题具有重大的理论意义和实际价值.本文通过变号Nehari流形上的极小化序列,定量形变引理以及拓扑度理论等方法讨论带有Hartree项的Kirchhoff型系统基态变号解的存在性.本文分为三章.第一章绪论,主要介绍渐近3次非线性Kirchhoff方程的最新研究进展,本文的研究内容,研究思路以及主要结论.第二章预备知识,主要给出所研究空间的性质以及几个基本引理.第三章,研究带有Hartree项的渐近3次非线性Kirchhoff系统的基态变号解,其中a>0,b≥0,势函数V∈C(R,R),α ∈(0,3/2),p∈(1+α/3,2-α/3).本文的创新之处在于f的条件,很多学者在研究方程的变号解时,要求f具有连续导数,而本文只需满足f连续,且研究f是渐近3次非线性的情形,即:(f)f∈C(R,R)且lim f(t)/t=0;(f)函数f(t)/t在(-∞,0)递减,在(0,∞)递增且limf(t)/t=β,limf(t)/t=β,其中β,β>0.本章首先利用变号Nehari流形上的极小化序列和范数弱下半连续性等方法证明极小值点可达,然后再利用定量形变引理和拓扑度理论等方法得到如下定理.定理3.1设(V)和(f)(f)成立,则系统(3.1)具有基态变号解.接下来,研究基态变号解和基态解的能量关系.通过一系列的研究,我们可以得到系统(3.1)基态变号解的能量严格大于基态解能量的2倍.

关键词：渐近3次非线性变号Nehari流形极小化序列定量形变引理基态变号解

一类Schrodinger-Poisson系统约束态解的存在性和多重性

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一类Schrodinger-Poisson系统约束态解的存在性和多重性

作者：张秀娟太原理工大学

学位级别：硕士

非线性偏微分方程有广泛的物理背景,其在理论和应用中都有重要的价值,因此被广大科研工作者研究.Schr(?)dinger-Poisson方程是非线性偏微分方程中一类非常重要的方程,近年来已有很多研究成果.本文主要研究一类带有一般非线性项的Schr(?)... 详细信息

非线性偏微分方程有广泛的物理背景,其在理论和应用中都有重要的价值,因此被广大科研工作者研究.Schr(?)dinger-Poisson方程是非线性偏微分方程中一类非常重要的方程,近年来已有很多研究成果.本文主要研究一类带有一般非线性项的Schr(?)dinger-Poisson系统约束态解的存在性与多重性.首先,运用极小化序列,消失引理,Br(?)zis-Lieb引理以及一些分析技巧研究R中一类带有一般非线性项的Schr¨odinger-Poisson系统约束态解的存在性.然后,通过极小极大方法,Ekeland变分原理研究R中一类带有一般非线性项的Schr¨odinger-Poisson系统约束态解的多重性.主要理论依据有:极小化序列方法,消失引理,变分原理,极小极大方法,Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,Gagliardo-Nirenberg不等式,Pohozaev恒等式,Nehari流形以及一些分析方法.本文分为4章.第1章介绍了变分法的发展历程,Schr(?)dinger-Poisson系统近年来的研究成果,本文的研究工作和主要结果并给出了本文用到的预备知识.第2章研究了如下Schr(?)dinger-Poisson系统限制在S={u∈H(R):‖u‖=c,c>0}(0.2.2)上解的存在性,其中λ∈R表示拉格朗日乘子,并且f和K满足下列条件:(F1)f∈(R,R),且存在C>0和q∈(3,10/3),使得|f(t)|≤C(1+|t|),t∈R;(F2)存在μ∈(3,10/3),使得f(t)t≥μF(t)≥0,t∈R;(F3)存在p∈(2,8/3),使得;(K1)K∈C(R,R),且,x∈R;(K2)对每一个y∈R,有t2(μ-3))K(y)≥k(ty),t≥1,其中F(t):=∫?f(s).首先,我们将上述Schr(?)dinger-Poisson系统约束态解的存在性问题转化为能量泛函在约束条件上的临界点问题.其次,由Gagliardo-Nirenberg不等式得到了能量泛函在约束上的下确界存在且小于0,进而找到了能量泛函的极小化序列.最后,运用消失引理,Br′ezis-Lieb引理,Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,嵌入定理,内插不等式等得到了能量泛函的约束极小元存在,因此得到了系统约束态解的存在性.第3章研究了如下Schr(?)dinger-Poisson系统限制在S(c):={u∈H(R):‖u‖=c,c>0}(0.2.4)上解的多重性,其中N=3,4,λ∈R表示拉格朗日乘子,且f满足下列条件:(F4)f∈(R,R)是奇函数,f(t)t≥0,并且存在C>0和q∈(2+4/N,2),使得|f(t)|≤C(1+|t|),t∈R;(F5),且;(F6)(f(t)t-2F(t))/(|t|)t)在(0,+∞)上是不减的,其中p=2+4/N,F(t):=∫?f(s).首先,我们将上述Schr(?)dinger-Poisson系统约束态解的多重性问题转化为能量泛函在约束上的临界点问题.其次,通过极小极大方法找到极小极大序列.最后,利用Ekeland变分原理找到相应的PS序列并进一步证明了紧性,进而得到了一列能量水平严格小于0的约束态解.第4章对文章成果进行总结,并给出了进一步的研究方向.

关键词： Schr(?)dinger-Poisson系统约束态解极小化序列极小极大方法 Ekeland变分原理

Klein-Gordon-Born-Infeld系统和Schr?dinger-Bopp-Podolsky系统解的存在性

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Klein-Gordon-Born-Infeld系统和Schr?dinger-Bopp-Podolsky系统...

作者：何传敏重庆工商大学

学位级别：硕士

本文主要运用山路定理,约束极小化等非线性分析工具研究两类具有很强物理背景的 Klein-Gordon-Born-Infeld 系统和 Schr?dinger-Bopp-Podolsky 系统解的存在性.首先考虑如下的Klein-Gordon-Born-Infeld系统:其中20,u,φ:R3→R,Δ4φ=div(|▽φ|2▽φ).运用山路定理证明基态解的存在性.其次研究非线性项无增长性条件的Klein-Gordon-Born-Infeld系统:其中ω>0是一个常数,u,φ:R3 → R,V(x):R3→R是一个强制位势函数,f(u)无(AR)条件或任何增长性条件.利用截断函数获得的一个新系统,然后证明新系统存在一个非平凡解,最后利用Moser迭代方法证明此非平凡解仍是Klein-Gordon-Born-Infeld 系统的一个非平凡解.最后研究如下 Schr?dinger-Bopp-Podolsky 系统:其中ω>0是一个常数,p∈(2,10/3),u,φ:R3→R.首先证明极小化序列满足强次可加条件从而克服紧性缺失问题,然后证明正规化解的存在性.最后证明Schr?dinger-Bopp-Podolsky 系统轨道稳定性.

关键词：山路定理极小化序列 Klein-Gordon-Born-Infeld系统 Schr?dinger-Bopp-Podolsky 系统

非线性Kirchhoff方程约束态解的存在性

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非线性Kirchhoff方程约束态解的存在性

作者：陈宏太原理工大学

学位级别：硕士

非线性偏微分方程来源于动力系统和自然科学领域,有很重要的理论意义和应用价值,因此引起了很多学者的关注.Kirchhoff方程是非线性偏微分方程中讨论的一个热点问题,它可以用来描述自然界中的重要现象.本文研究了非线性Kirchhoff方程约... 详细信息

非线性偏微分方程来源于动力系统和自然科学领域,有很重要的理论意义和应用价值,因此引起了很多学者的关注.Kirchhoff方程是非线性偏微分方程中讨论的一个热点问题,它可以用来描述自然界中的重要现象.本文研究了非线性Kirchhoff方程约束态解的存在性,首先,研究了带有一般非线性项的Kirchhoff方程约束态解的存在性;其次,研究了拟线性Kirchhoff方程约束态解的存在性.主要理论依据有极小化序列法,消失引理,山路定理,Schwartz重排法,Gagliardo-Nirenberg不等式,Pohozaev恒等式以及一些分析技巧.本文共分为4章.第1章是绪论,介绍了 Kirchhoff方程的研究背景和近年来的研究成果,给出了本文的研究工作及主要结果,并给出本文用到的预备知识.第2章研究了如下Kirchhoff方程(?)解的存在性,其中a,b是正常数,λ ∈ R是拉格朗日乘子,f∈C(R,R)且满足下列条件:(F1)(?)F(t)/|t|2=0,且存在常数C>0和q ∈(10/3,14/3),使得对所有的t ∈ R,有|f(t)|≤C(1+|t|q-1);(F2)存在 p ∈(2,14/3),使得(?)F(t)/|t|p>0;(F3)对所有的t ∈ R,有f(t)t≥10/3 F(t)≥0;(F4)存在常数C>0和q ∈(14/3,6),使得对所有的t ∈ R,有|f(t)|≤C(1+|t|q-1);(F5)(?)F(t)/|t|2=0,(?)F(t)/|t|14/3=+∞,并且 F(t)>0,对所有的t∈R\极小化序列;(F6)存在常数p ∈(14/3,6),使得f(t)t-2F(t)/|t|p-1t在(-∞,0)∪(0,+∞)上是不减的,其中F(t)=∫0t f(s).首先,将上述Kirchhoff方程约束态解的存在性问题转化为能量泛函在约束条件下的临界点问题.其次,由Gagliardo-Nirenberg不等式得到能量泛函在约束条件的下确界有定义并且小于零,并找到极小化序列.最后,运用集中紧性原理和内插不等式等证明了极小元可达,进而获得方程(K1)解的存在性.另外运用山路定理等也获得了方程(K1)解的存在性.第3章研究了如下拟线性Kirchhoff方程(?)解的存在性,其中a,b是正常数,p ∈[7/3,13/3],λ ∈ R是拉格朗日乘子.首先,将上述拟线性Kirchhoff方程约束态解的存在性问题转化为能量泛函在约束条件下的临界点问题.其次,由径向函数等方法得到能量泛函在约束条件的下确界有定义并且小于零,并找到极小化序列.最后,运用Gagliardo-Nirenberg不等式和Schwartz重排等证明了极小元可达,进而获得方程(K2)解的存在性.第4章对文章结果进行总结,并给出进一步的研究方向.

关键词： Kirchhoff方程约束态解极小化序列山路定理 Schwartz重排

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一类带位势函数的非局部方程规范解的存在性

一类带位势函数的非局部方程规范解的存在性

作者：高宇宏广西大学

学位级别：硕士

本学位论文研究了如下固定质量的非局部问题(?)的基态规范解的存在性,其中a是给定正的常数,*表示卷积.α∈(0,N),I是Riesz位势,λ在这里作为未知的Lagrange乘子出现.该问题包括了非线性的Choquard方程.在对V,G和H作出适当的假设下,我们... 详细信息

本学位论文研究了如下固定质量的非局部问题(?)的基态规范解的存在性,其中a是给定正的常数,*表示卷积.α∈(0,N),I是Riesz位势,λ在这里作为未知的Lagrange乘子出现.该问题包括了非线性的Choquard方程.在对V,G和H作出适当的假设下,我们利用重排不等式,研究了带径向对称位势函数的情形下基态规范解的存在性.此外,通过建立一个严格的次可加不等式,对于任意的a>0,我们证明了包括非径向对称位势函数情形的基态规范解的存在性.

关键词：非局部方程极小化序列规范解重排不等式次可加不等式

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一类临界拟线性椭圆型方程非平凡解的存在性

中北大学学报（自然科学版） 2017年第6期38卷 582-587页

作者：杨晓枫腾凯民太原理工大学数学学院山西太原030024

研究了一类带有临界Sobolev指数的拟线性椭圆型方程,该类方程的退化形式来源于流体力学、等离子物理中提出的数学模型.采用约束极小化方法和无穷远的集中紧性原理,在对位势函数作一些合适的假设下,证明了其非平凡解的存在性.

关键词：拟线性椭圆型方程极小化序列非平凡解