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曲边多角形区域上不连续介质问题基于直接边界积分方程的机械求积法

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四川大学学报（自然科学版） 2011年第2期48卷 253-259页

作者：杨荣奎刘亚平吕涛四川大学数学学院成都610064

作者提出了多角形区域上不连续介质问题▽.(γ(x)▽u(x))=0基于直接边界积分方程的机械求积法.作者首先导出了多角形不连续介质问题的等价直接边界积分方程组,然后采用三角周期变换,去除边界积分方程组解在角点的奇异性,利用Sidi-Israel... 详细信息

作者提出了多角形区域上不连续介质问题▽.(γ(x)▽u(x))=0基于直接边界积分方程的机械求积法.作者首先导出了多角形不连续介质问题的等价直接边界积分方程组,然后采用三角周期变换,去除边界积分方程组解在角点的奇异性,利用Sidi-Israeli求积法则,构造机械求积法.数值结果表明该算法简单、有效,计算量低且具有高精度.

关键词：多角形不连续介质问题直接边界积分方程机械求积法

边界积分方程的机械求积法在油藏数值模拟中的应用

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边界积分方程的机械求积法在油藏数值模拟中的应用

作者：王婷婷四川大学

学位级别：硕士

油藏的几何形状、非均质性、边界条件以及井间的干扰显著影响着油藏压力动态分析。因此,研究具有上述特征的油藏工程中的压力分布问题对于油气田的勘探和开发具有重要意义。本文根据油藏的开发实践,将边界元理论与渗流力学理论相结合,... 详细信息

油藏的几何形状、非均质性、边界条件以及井间的干扰显著影响着油藏压力动态分析。因此,研究具有上述特征的油藏工程中的压力分布问题对于油气田的勘探和开发具有重要意义。本文根据油藏的开发实践,将边界元理论与渗流力学理论相结合,对油藏工程中的压力分布问题建立数学模型,并借助边界元法将之转化为相应的边界积分方程。对于带有弱奇异性的积分方程,应用Sidi-Israeli求积公式进行求解,该公式的优点在于奇点处权函数的选择。本文给出了处理这类问题的高精度求积方法,与之前的方法相比,具有以下优点:把求解问题的维数降低了一维,既减少了计算量又提高了模拟效率;计算精度较高,具有一定的普遍应用性;适用于求解任意形状的包括定压、定流量或混合边界在内的组合边界问题。本文对油藏工程中矩形区域反五口井的情况进行了数值模拟,根据求解出的压力值绘制出了压力的流线分布,并分析了流线分布特点,为优化井网和注入方案提供了重要依据,对于油藏工程具有颇高的实用价值。

关键词：边界积分方程机械求积法边界元法油藏数值模拟

用机械求积和正则化方法解弱奇性的第一类Volterra积分方程

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用机械求积和正则化方法解弱奇性的第一类Volterra积分方程

作者：李于锋四川大学

学位级别：硕士

在积分方程的数值处理中,有很大一部分方程是第一类的Volterra积分方程,而且在实际的物理背景下,很多是带有弱奇性核的。众所周知,由于第一类弱奇异Volterra积分方程存在不适定性,核奇异性,在解法上有一定的困难。本文在现有文献的基础... 详细信息

在积分方程的数值处理中,有很大一部分方程是第一类的Volterra积分方程,而且在实际的物理背景下,很多是带有弱奇性核的。众所周知,由于第一类弱奇异Volterra积分方程存在不适定性,核奇异性,在解法上有一定的困难。本文在现有文献的基础上提出关于此类问题的数值方法,特别是针对带有对数奇性核的第一类Volterra积分方程的研究。由于这类方程不能用常规方法化为第二类Volterra积分方程,我们应用正则化方法解决第一类问题的不适定性,结合带有奇异点的机械求积公式,给出弱奇性的第一类Volterra积分方程的离散计算格式。本文还讨论了第一类Abel积分方程的数值反演问题,主要是利用正则化的方法进行数值微分,进而利用特殊的求积公式或者插值逼近理论获得问题的近似解,得到了很好的效果。对文中提到的方法,数值结果表明,计算精度与稳定性都很令人满意,从而具有重要的理论的和实际意义。

关键词：第一类Volterra积分方程正则化方法机械求积法弱奇性核

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高精度特征解及其外推求解位势方程

应用数学和力学 2010年第12期31卷 1445-1453页

作者：程攀黄晋曾光电子科技大学数学科学院成都611731 重庆交通大学理学院重庆400074

根据位势理论,基本边界特征值问题可转化为具有对数奇性的边界积分方程.利用机械求积方法求解特征值和特征向量,以及利用这些特征解求解Laplace方程.特征解和Laplace方程的解具有高精度和低的计算复杂度.利用Anselone聚紧和渐近紧理论,... 详细信息

根据位势理论,基本边界特征值问题可转化为具有对数奇性的边界积分方程.利用机械求积方法求解特征值和特征向量,以及利用这些特征解求解Laplace方程.特征解和Laplace方程的解具有高精度和低的计算复杂度.利用Anselone聚紧和渐近紧理论,证明了方法的收敛性和稳定性.此外,还给出了误差的奇数阶渐近展开.利用h3-Richardson外推,不仅误差近似的精度阶大为提高,而且,得到的后验误差估计可以构造自适应算法.具体的数值例子说明了算法的有效性.

关键词：位势方程机械求积法 Richardson外推后验误差估计

在接触力学中的奇异积分方程的高精度数值解法

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在接触力学中的奇异积分方程的高精度数值解法

作者：周薇电子科技大学

学位级别：硕士

奇异积分方程作为数学理论的一部分,在固体力学中有较强的实用性。很多固体力学的问题,例如断裂力学问题、接触力学问题等,它们的数学模型都能够归结于奇异积分方程,同时,接触力学在固体力学领域占有核心地位,所以,对奇异积分方程求解... 详细信息

奇异积分方程作为数学理论的一部分,在固体力学中有较强的实用性。很多固体力学的问题,例如断裂力学问题、接触力学问题等,它们的数学模型都能够归结于奇异积分方程,同时,接触力学在固体力学领域占有核心地位,所以,对奇异积分方程求解方法进行研究并将其应用于接触问题的分析,是具有很强的实用价值的。目前,关于求解奇异积分方程的文献很多,但是直接对奇异积分方程进行求解显得十分困难,因此,对此类问题的研究转为对其求数值解的研究。现在,奇异积分方程的数值解法中最常用的是投影法,投影法包括配置法、Galerkin法和最小二乘法,然而这些方法有很多不足之处,因此本文提出了机械求积法,与投影法相比,机械求积法有以下优点:（1）能够节省大量的计算量,对于矩阵中每个元素的生成,配置法需要计算一重奇异积分,Galerkin法和最小二乘法需要计算二重奇异积分,而本文提出的机械求积法不需要计算任何奇异积分,只须赋值,因此能够减少大量的工作量;（2）数值解精度高,与配置法、Galerkin法得到的数值解相比,机械求积法得到的数值解与理论解的误差更小;（3）可以得到后验误差估计,而配置法、Galerkin法和最小二乘法很难得到。本文首先介绍了奇异积分方程理论及数值解法的发展情况,同时介绍了现有的几种常用的具有代表性的方法,例如投影法中的配置法、内插型求积公式法中的Gauss-Chebyshev求积公式法、Lobatto-Chebyshev求积公式法,在此基础上,本文详细介绍了求解奇异积分方程数值解的高精度机械求积法,给出了具体的数值算例,通过算例说明,机械求积法与前几种方法相比,的确具有数值解精度高和降低计算量的优点;其次,根据弹性力学的基础理论,建立了两个弹性体接触时所对应的奇异积分方程,运用此方程研究了经典的赫芝接触问题,对于给出的奇异积分方程,分别用有限元法、分片连续函数方法以及机械求积法对其数值解进行计算,通过具体的数值算例,对数值解和理论解之间的误差结果进行比较,从而验证了机械求积法的优越性;然后,将接触问题所对应的奇异积分方程的类型进行总结,分为理论解为某一固定常数和变量两种形式,并分别通过具体的数值算例进行讨论,运用机械求积法对算例进行计算,通过计算的数值解结果和误差再次验证了机械求积法在求解奇异积分方程数值解方面的有效性;最后,对本文进行了总结和展望。

关键词：奇异积分方程机械求积法接触问题

Hammerstein非线性积分方程数值解法

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Hammerstein非线性积分方程数值解法

作者：程立萍电子科技大学

学位级别：硕士

积分方程是数学科学研究中一个重要的分支,也是科学研究的重要工具之一,其应用越来越广泛,方程的求解是研究的重点和难点之一。Hammerstein型积分方程是非线性积分方程的典型问题,近些年来其数值求解方法得到了广泛关注。本文提出了Hamm... 详细信息

积分方程是数学科学研究中一个重要的分支,也是科学研究的重要工具之一,其应用越来越广泛,方程的求解是研究的重点和难点之一。Hammerstein型积分方程是非线性积分方程的典型问题,近些年来其数值求解方法得到了广泛关注。本文提出了Hammerstein型非线性积分方程的高精度算法。本文首先给出了非线性方程组的常用数值解法,主要介绍了应用较广泛的Newton法、修正的Newton迭代法、带参数的Newton法,比较了这几种方法优缺点,得到计算量和收敛效果较为可行的方法,并给出迭代格式的收敛性定理。其次,研究了积分方程中常使用的投影法求解Hammerstein型积分方程,给出了求解格式和相应的定理,并指出了Garlerkin法及迭代Garlerkin法、配置法及迭代配置法的收敛阶,最后以相应的数值算例给出结果,从而验证方法的可行性。最后,应用Sidi公式,给出了非线性积分方程的机械求积法的高精度算法,它与Galerkin法和Collocation法相比较:（1）积分方程的离散矩阵是满阵,生成矩阵的每个元素,配置法必须计算一重积分,Galerkin法必须计算二重积分,计算离散矩阵的工作量非常巨大,甚至远超过了解方程组的工作量[3]。（2）用机械求积法解积分方程能够节约大量的工作,但是其离散矩阵算子不再是投影算子,因此就不能用投影算子的理论框架研究讨论近似解的存在唯一性、收敛性和稳定性等理论问题。所以给机械求积法的数学理论和数值处理带来了极大困难。（3）得到离散后非线性离散方程组,并用数值例子加以验证。

关键词： Hammerstein积分方程投影法 Sidi求积公式机械求积法

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Volterra积分方程数值解法综述

Volterra积分方程数值解法综述

作者：夏莉吉林大学

学位级别：硕士

本文从介绍Volterra积分方程的发展历史开始,通过对Volterra积分方程进行分类,简单列出了当前阶段所出现的第一类Volterra积分方程和第二类Volterra积分方程的基本理论,并着重讨论了当前研究阶段中分别求解第一类和第二类Volterra积分... 详细信息

本文从介绍Volterra积分方程的发展历史开始,通过对Volterra积分方程进行分类,简单列出了当前阶段所出现的第一类Volterra积分方程和第二类Volterra积分方程的基本理论,并着重讨论了当前研究阶段中分别求解第一类和第二类Volterra积分方程的一些比较重要的数值方法,主要包括机械求积法,投影法,Runge-Kutta法和线性多步法等.

关键词： Volterra积分方程机械求积法投影法 Runge-Kutta法线性多步法