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数学物理学报（A辑） 2019年第2期39卷 264-276页

作者：柳志德王征平武汉理工大学数学科学研究中心理学院数学系武汉430070

该文讨论以下非线性Kirchhoff型椭圆方程非平凡解和非负最低能量解的存在性■其中p∈(3,5), a,b> 0, V∈C(R^3,R^+)并且■V(x)=∞.通过变分方法,该文首先证明了对于任何b> 0,存在δ(b)> 0,使得当μ_1≤μ<μ1+δ(b)时,方程(0.1)有非平凡... 详细信息

该文讨论以下非线性Kirchhoff型椭圆方程非平凡解和非负最低能量解的存在性■其中p∈(3,5), a,b> 0, V∈C(R^3,R^+)并且■V(x)=∞.通过变分方法,该文首先证明了对于任何b> 0,存在δ(b)> 0,使得当μ_1≤μ解.其次,进一步证明了存在δ_1(b)∈(0,δ(b)),当μ_1最低能量解,这里μ_1是Schrodinger算子-△+V的第一特征值.最后利用对称山路引理证明了对任意的μ∈R,方程(0.1)存在无穷多个非平凡解.

关键词： Kirchhoff方程非平凡解最低能量解

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平面上一类非线性椭圆方程的最低能量解

平面上一类非线性椭圆方程的最低能量解

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作者：王倩扬州大学

学位级别：硕士

本文研究的是整个平面上的一类非线性椭圆方程,通过求对应泛函的条件极值,我们证明了这个方程有一个非负的最低能量解,且这个解是球对称的,关于r=|x|单调递减并有紧支撑集.具体研究内容如下:第一章介绍了所研究的非线性椭圆方程问题,国... 详细信息

本文研究的是整个平面上的一类非线性椭圆方程,通过求对应泛函的条件极值,我们证明了这个方程有一个非负的最低能量解,且这个解是球对称的,关于r=|x|单调递减并有紧支撑集.具体研究内容如下:第一章介绍了所研究的非线性椭圆方程问题,国内外研究现状以及这篇文章所做的主要工作.第二章首先介绍了本文中用到的一些数学符号,定义了Lp等泛函空间,然后介绍了Lebesgue控制收敛定理,Fatou引理,Sobolev空间,Sobolev空间的嵌入定理以及平面中的Moser-Trudinger不等式,最后还介绍了 Schwarz对称化的概念和相关结论.第三章主要应用插值不等式和泰勒展开式,得到一些估计,其中包括Moser-Trudinger类型的不等式,再结合Lebesgue控制收敛定理得到能量泛函的连续性.接着证明了能量泛函有Gateaux导数,且这个Gateaux导数是连续的,从而得到了能量泛函的可微性.第四章主要先通过经典椭圆估计和比较定理,证明了方程的每一个有限能量解都有紧的支撑集,且满足Pohozaev恒等式.接着通过对Pohozaev恒等式进行分析,得到使用条件极值所需的限制条件.应用条件极值的关键是要证明极小化序列是紧致的,即可以找到泛函空间的一个元素,它满足限制条件且使得极小化序列收敛到这个元素.极小化序列一般情况下是没有紧致性的,但是可以借助Schwarz对称化原理得到一列对称的极小化序列,然后证明其收敛.找到满足条件极值的元素之后,应用拉格朗日乘数法则,再拉伸一下这个元素就可以得到非线性椭圆方程的解,之后再进行比较,可以证明这个非线性椭圆方程的解是最小能量解.根据以上讨论,我们通过两个定理证明了这类非线性椭圆方程最低能量解的存在性.

关键词：半线性椭圆方程最低能量解次线性紧支撑集球对称

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非线性Kirchhoff型椭圆方程的最低能量解

非线性Kirchhoff型椭圆方程的最低能量解

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作者：柳志德武汉理工大学

学位级别：硕士

本文主要讨论如下形式的Kirchhoff型椭圆方程-（a+b∫R3|▽u|2dx）△u+V（x）u=μu+|u|p-1u,x∈R3,u∈H1（R3）,（0-1）其中常数a,b＞0,μ为正参数,p∈（3,5）,位势V（x）∈C（R3,R+）并且满足条件:（V1）当|x|→∞时,V（x）→∞.方程（... 详细信息

本文主要讨论如下形式的Kirchhoff型椭圆方程-（a+b∫R3|▽u|2dx）△u+V（x）u=μu+|u|p-1u,x∈R3,u∈H1（R3）,（0-1）其中常数a,b＞0,μ为正参数,p∈（3,5）,位势V（x）∈C（R3,R+）并且满足条件:（V1）当|x|→∞时,V（x）→∞.方程（0-1）的解可以通过寻找带权Sobolev空间H={u∈W1,2（R3）:∫R3V（x）u2dx＜∞}上的如下能量泛函Iμ（u）:H→R的临界点得到Iμ（u）=1/2∫R3a|▽u|2+V（x）u2dx+b/4（∫R3|▽u|2dx）2-μ/2∫R3u2dx-1/p+1∫R3|u|p+1dx.令μ1是Schrodinger算子-△+V的第一特征值,当0＜μ＜μ1时,对任意的p∈（3,5）以及满足条件（V1）的位势函数V（x）,用Nehari流形约束方法很容易证明方程（0-1）存在最低能量解,但是,当μ≥μ1时,对上述问题该方法将不再适合.本文主要利用现代变分法中的山路引理、Ekeland变分原理以及对称山路引理等方法并结合一些分析技巧得到了方程（0-1）在μ≥μ1时非平凡解的存在性、最低能量解的存在性以及无穷多解的存在性.首先,我们利用山路引理证明了对任意给定的b＞0,一定存在某个δ（b）＞0使得对任意的μ∈[μ1,μ1+δ（b）),方程（O-1）总有非平凡解uμ∈H并且Iμ（uμ）＞0.在此基础上,我们进一步讨论了这些非平凡解对参数μ的依赖性,并证明了任意序列{μn}（?）[μ1,μ1+δ（b）):μn→nμ1,则μn相对应的方程非平凡解uμn在H中强收敛到uμ1,uμ1为μ1所对应的方程（0-1）的解且I’μ1（uμ1）=O和Iμ1（uμ1）＞0.在这个过程中,由于所研究的问题含有带梯度的非局部项,通常的方法不能直接用来验证相应的能量泛函满足P-S条件,本文通过具体分析P-S序列相关子列的极限性质最终克服了这一困难,这也是本文的主要难点之一.为了寻找最低能量解,我们通过研究合适的极小化问题并利用Ekeland变分原理,证明了对于任意给定的b＞0,存在更小的δ1（b）∈（0,δ（b））,使得当μ∈（μ1,μ1+δ1（b））时,方程（0-1）存在非负最低能量解uμ∈H且Iμ（uμ）＜0.此时,对于序列{μn}（?）（μ1,μ1+δ1（b））,μn→nμ1,则μn对应的方程最低能量解uμn在H中强收敛到0.最后,我们还利用对称山路引理证明了对任意给定的μ∈R,方程（0-1）存在无穷多个非平凡解.

关键词：变分法山路引理 Kirchhoff方程非平凡解最低能量解

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平面上一类非线性椭圆方程的最低能量解

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吉首大学学报（自然科学版） 2019年第1期40卷 12-17页

作者：王倩扬州大学数学科学学院江苏扬州225002

通过求条件极值的方法,证明了平面上的一类非线性椭圆方程有一个具有紧支撑集的最低能量解,这个解是球对称的且关于r=|x|单调递减.

关键词：非线性椭圆方程最低能量解次线性紧支撑集

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某些不具有紧性的变分问题

某些不具有紧性的变分问题

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作者：曾晶福建师范大学

学位级别：硕士

这篇硕士学位论文主要研究了几类非线性椭圆方程，它们的共同特点是这些方程对应的变分泛函都不满足Palais-Smale条件。首先考虑一类非线性Schr(?)dinger方程，给出了确保这类方程最低能量解的存在性的一般性条件。说明在Nehari型... 详细信息

这篇硕士学位论文主要研究了几类非线性椭圆方程，它们的共同特点是这些方程对应的变分泛函都不满足Palais-Smale条件。首先考虑一类非线性Schr(?)dinger方程，给出了确保这类方程最低能量解的存在性的一般性条件。说明在Nehari型条件下，标准的Ambrosetti-Rabinowitz超线性条件能够被一个更自然的超二次条件代替。接着考虑了一类含有不定项的椭圆方程多解的存在性。方程中的势函数是不定的。最后，考虑一类R上的p-Laplacian椭圆方程的多重解的问题。当Δ算子中p≠2时，寻找到方程的无穷多径向对称和非径向对称解的存在性。

关键词：临界点理论非线性Sehro|¨dinger方程 p-Laplacian方程 Ambrosetti-Rabinowitz条件不定的非线性项最低能量解多解

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