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偏置曲线曲面自相交若干问题的研究

偏置曲线曲面自相交若干问题的研究

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作者：白庆月兰州交通大学

学位级别：硕士

21世纪是科技信息迅速发展的时代,各行各业对现代技术都表现出了强烈的依赖性,同时也体现出了对其极高的要求。计算机辅助几何设计(CAGD)作为信息集成、数据集成、产品开发的重要工具,在这个大数据时代发挥着重要的作用,例如,在研究数... 详细信息

21世纪是科技信息迅速发展的时代,各行各业对现代技术都表现出了强烈的依赖性,同时也体现出了对其极高的要求。计算机辅助几何设计(CAGD)作为信息集成、数据集成、产品开发的重要工具,在这个大数据时代发挥着重要的作用,例如,在研究数控加工刀具、道路线型设计、箱包壳体设计、汽车和航空航天等前沿领域中均有重要应用。偏置曲线和曲面就是这些广泛应用的核心理论支撑,尤其在图像的特殊处理、控制点的去除技术以及犀牛软件建模过程中,经常伴随着自相交等非正则现象的出现。在偏置曲线曲面理论中,等距偏置和变距偏置是两种最基本的类型。第一类,等距偏置曲线曲面。等距偏置相对特殊,因为它是以一个固定常量d作为偏置距离的,在理论推导或者求导时,常函数对表达式的影响一般不是很大,在模拟实验中,常量给工作带来的影响有时仅仅是一个图像比例的问题。研究者之所以非常重视等距偏置量,还因为它的特殊性在一定程度上促进了其深度研究。第二类,变距偏置曲线曲面。因为偏置距离变成了一个灵活性很强的实函数d(t),这种灵活性似乎不是人们期待的多样性,因为在理论推导、实验仿真等方面都着实给人带来了困扰,甚至当偏置距离出现无理的情况时,CAD软件程序几乎不能操作运行,因而,无理情况必须进行有理化处理。文章从二维曲线自交的去除和三维空间曲面自交的去除两个方面对偏置曲线、曲面展开研究,通过选取基函数、建立自交方程、求解自交方程和确定自交点位置等步骤来实现曲线曲面的去自交任务。主要研究内容及成果如下：首先,文章分析了两条相交曲线是否正则,从而判定相交曲线的非正则条件。对于二维空间中偏置曲线自交问题的研究,当两条自由曲线C(u)和C(v)发生相交时,在相交点处存在方程C(u)一C(v)=(。利用消元算法消除参数项的主要思想,不妨令I(u,v)=C(u)-C(v),通过等价代换等过程而将目标方程降阶并进行代数方法的分解(u-v)(?)(u,v)=C(u)-C(v),最终再进行代换转化,使得目标方程与低阶方程建立等价关系,只要通过求解方程(?)(u,v)=0,得到的解即是自交方程的解,也就达到了去除自交点的目的。其次,在偏置曲线自交情况的研究基础上,探讨三维空间中偏置曲面的自交现象。从前文偏置曲线自交问题的探索经验可知,偏置有理化曲面S(u,v)和S(r,t)相交的情况也是曲线相交的一种推广,由于偏置曲面和偏置曲线自交问题的差异性,在关于偏置曲线去除自交的研究基础上附加了参数约束条件[0,1],并在Bezier基函数下进行了有效的推广。最后,将二维、三维空间曲线、曲面进行深入推广,得到高维空间相交曲面的去自交方程,并对多维方程给予理论上的推导和证明过程。文章提出的消元算法有效地解决了偏置曲线、偏置曲面的自相交问题,不仅弥补了用圆盘扫描算法去除自交的缺陷,而且完善了偏置曲线曲面研究中去自交的理论体系,还推广了消元算法去自交的适用范围,同时也拓宽了曲线曲面去自交的应用领域。

关键词：偏置曲线偏置曲面正则性条件曲线自交曲面自交

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