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时空分数阶扩散方程的扩展混合有限元方法

时空分数阶扩散方程的扩展混合有限元方法

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作者：袁琼山东师范大学

学位级别：硕士

本文第一部分讨论下列由双边Riemann-Liouville分数阶导数刻画的守恒型分数阶扩散方程其中,Ω =(0,1),0<β<1,0 ≤θ ≤ 1,K是常扩散系数,f ∈ L2(Ω)表示源或汇项;(?)和D=dd/dx分别为关于时间、空间的一阶导数算子,0Ixβ和xI1β是由(2.... 详细信息

本文第一部分讨论下列由双边Riemann-Liouville分数阶导数刻画的守恒型分数阶扩散方程其中,Ω =(0,1),0扩散系数,f ∈ L2(Ω)表示源或汇项;(?)和D=dd/dx分别为关于时间、空间的一阶导数算子,0Ixβ和xI1β是由(2.2.1)式定义的β阶左、右Riemann-Liouville分数阶积分算子.大量的实验表明,上述分数阶扩散方程较二阶扩散方程能更准确地刻画诸如湍流,混沌动力学,粘弹性力学,地下污染渗流传输等反常扩散或非菲克现象,具有鲜明的物理背景与广泛的应用.由于难于利用傅里叶变换,拉普拉斯变换等方法求得一般分数阶扩散问题的解析解,人们通常采用有限元,有限差分方法求其数值解.为了满足工程上的需要,理想的数值方法不仅应同时关注未知函数及其通量,而且需满足某种意义下的守恒律以反映物质扩散输运过程的数学物理特征.常规的思路是,通过引入分数阶通量p=-K(0Ixβ+(1-θ)xI1β)作为中间变量,建立恰当的鞍点变分原理,以此构造标准的混合有限元方法.但由于算子oIxβDu,xI1βDu和刀不是对称的,我们无法构造出恰当的双线性形式b(·,·)来满足inf-sup条件.对此,陈焕贞和王宏[10]对空间分数阶扩散方程,通过引入q = Du作为第二个中间变量,建立了相应的鞍点原理,据此构造了能同时高精度逼近未知函数与分数阶通量,且保持单元守恒的扩展混合有限元方法.在本文中,我们借鉴[10]的思路,通过引入分数阶通量和未知函数的导数作为中间变量,对上述依赖时间的分数阶扩散方程建立了相应的鞍点变分形式,构造了局部守恒,可同时高精度逼近未知函数,未知函数导数和分数阶通量的扩展混合有限元格式,并利用向后欧拉方法对时间导数进行离散,建立了全离散扩展混合有限元格式.进一步,我们利用所导出的混合元方程组系数矩阵的可逆性,证明了全离散格式解的存在唯一性;借助离散的Growall不等式,证明了该离散格式的无条件稳定性.在数值分析中,利用混合元投影算子的投影误差估计,得到全离散扩展混合有限元格式的收敛阶为O(τ十hmin{k+1,s-1 +β/2),这里τ,h,k分别表示时间步长、空间步长与有限元空间指数.数值实验表明,文中提出的扩展混合元数值格式可有效地模拟由上述守恒型分数阶扩散方程所刻画的反常扩散输运模型.但大量的反常扩散或非菲克输运过程都表现为超扩散现象,即关于时间与空间的导数均为分数阶情形.因此,在本文的第二部分,我们主要研究下列时空分数阶扩散问题其中,(?)αu(x,t)表示α,0阶Caputo 导数.我们仍通过引入未知函数的通量p =-K(θ0Ixβ+(1-θ)xI1β)Du和导数q =Du作为中间变量,以此建立相应的鞍点变分形式与相应的扩展混合有限元格式,并对α阶的Caputo导数采用L1格式离散,构造出了全离散扩展混合有限元方法.在数值分析中,我们采用数学归纳的思想以代替离散的Gronwall不等式,通过复杂的分析论证,建立了全离散扩展混合元方法的收敛性理论,关于未知函数u收敛阶为O(τ2α十hmin{k+1,s-1+β/2}),关于函数导数与分数阶数值通量p的收敛阶为O(τ23α/2+hmrn-k+1,s-1+β/2}).文中数值实验表明,所提出的L1全离散扩展混合有限元格式具有理想的数值逼近效果.

关键词：时间依赖的分数阶扩散问题鞍点变分形式扩展混合有限元方法 L1全离散扩展混合有限元格式数值分析数值实验

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