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电荷输运相场模型二阶、线性、解耦、能量稳定的数值格式

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应用数学进展 2024年第2期13卷 806-824页

作者：刘思福潘明阳河北工业大学理学院天津

本文对电荷输运相场模型构造了一种新的二阶精度、线性、解捐、无条件能量稳定的时间步进数值格式。首先,通过引入一个具有零能量贡献特征的常微分方程处理非线性捐合项。其次,结合标量辅助变量法处理 Cahn-Hilliard 方程中非线... 详细信息

本文对电荷输运相场模型构造了一种新的二阶精度、线性、解捐、无条件能量稳定的时间步进数值格式。首先,通过引入一个具有零能量贡献特征的常微分方程处理非线性捐合项。其次,结合标量辅助变量法处理 Cahn-Hilliard 方程中非线性势函数。时间离散采用二阶向后差分公式,我们严格证明了该格式下的无条件能量稳定性,并给出详细的解捐实现过程。最后,通过几个数值实验验证了所提出方案的准确性和有效性。

关键词：相场模型标量辅助变量法无条件能量稳定性有限差分

两类纳维-斯托克斯方程耦合模型高阶时间离散有限元方法

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两类纳维-斯托克斯方程耦合模型高阶时间离散有限元方法

作者：牟小凤电子科技大学

学位级别：硕士

流体力学及相场模型作为研究流体物质运动规律的重要工具之一,已经成功地应用于模拟许多领域的动力学过程,对待这类问题的有限元方法(Finite Element Methods,FEM)研究一直都是人们所关注的焦点。本文为了研究时间高精度有限元方法在流... 详细信息

流体力学及相场模型作为研究流体物质运动规律的重要工具之一,已经成功地应用于模拟许多领域的动力学过程,对待这类问题的有限元方法(Finite Element Methods,FEM)研究一直都是人们所关注的焦点。本文为了研究时间高精度有限元方法在流体力学问题(Navier–Stokes方程和Cahn–Hilliard–Navier–Stokes方程)上的应用,设计了二阶向后差分公式有限元方法(Backward Differentiation Formula Finite Element Methods,BDF-FEM)在求解流体力学及相场问题时的数值格式,重点分析了所提数值格式的无条件能量稳定性和收敛性,并且给出了具体的数值实验对理论分析进行验证。首先,简单介绍了本文所研究问题的物理背景与意义、不同的不可压流体相场模型及其数值方法的发展历史与研究现状。同时,回顾了Sobolev空间的一些基础概念、几个重要不等式、有限元中的投影估计等。其次,构造了不可压Navier–Stokes(NS)方程的二阶向后差分公式(Backward Differentiation Formula,BDF)的有限元解耦逼近格式。“解耦”技术是指通过引入中间变量将速度场方程中的压力项显式处理,从而移除速度场方程中的不可压限制。接着,通过详细地理论分析,得到了二阶BDF-FEM全离散格式的无条件能量稳定性和唯一可解性。然后通过引入中间函数,严格证明了该数值格式的收敛性,并得到了速度场u在?([0,T];L)范数下的最优收敛阶O(h+τ),其中r表示多项式函数的最高次数,h和τ分别表示空间网格尺寸和时间步长。最后,针对不可压Cahn–Hilliard–Navier–Stokes(CHNS)方程,讨论了它的一个基于Cahn–Hilliard方程的不变能量二次化(Invariant Energy Quadratization,IEQ)方法和Navier–Stokes方程的解耦方法的二阶全离散解耦格式,其中时间离散和空间离散分别采用二阶BDF和FEM。一方面,利用二阶Adams–Bashforth外推对非线性项进行半隐半显线性化处理,这保证了该数值格式的无条件能量稳定性。另一方面,通过引入H范数,着重推导了该全离散格式的最优误差估计,即导出了相场?在?([0,T];H)范数下、化学势μ在?([0,T];H)范数下以及速度场u在?([0,T];L)范数下的最优收敛阶O(h+τ)。此外,在上述最后两部分中都给出了对应的数值实验来验证算法的稳定性和收敛性。

关键词：有限元方法 Cahn–Hilliard–Navier–Stokes方程向后差分公式无条件能量稳定性最优误差估计

修正的晶体相场方程的线性、无条件能量稳定格式研究

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修正的晶体相场方程的线性、无条件能量稳定格式研究

作者：梁译泓太原理工大学

学位级别：硕士

修正的晶体相场方程是一个六阶非线性阻尼波动方程.本文基于有限元方法,通过引入拉格朗日乘子构造了该方程的三个线性、无条件能量稳定的数值格式.研究内容如下:本文给出修正的晶体相场方程的控制系统及其伪能量的推导.使用拉格朗日乘... 详细信息

修正的晶体相场方程是一个六阶非线性阻尼波动方程.本文基于有限元方法,通过引入拉格朗日乘子构造了该方程的三个线性、无条件能量稳定的数值格式.研究内容如下:本文给出修正的晶体相场方程的控制系统及其伪能量的推导.使用拉格朗日乘子法对方程进行线性化处理,并对时间和空间降阶,得到等价形式.采用一阶向后欧拉方法、二阶Crank-Nicolson方法、二阶向后差分方法进行时间离散,构造一阶、二阶线性无条件能量稳定的时间半离散格式,并对其质量守恒性、能量稳定性进行分析.针对所提出的两个时间二阶数值格式,文中深入地分析了对应的误差估计,并利用数值实验验证了格式的有效性.

关键词：修正的晶体相场方程拉格朗日乘子法无条件能量稳定性误差估计

曲面上流体表面活性剂系统的数学建模及算法研究

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曲面上流体表面活性剂系统的数学建模及算法研究

作者：孙明新疆大学

学位级别：硕士

表面活性剂是一类具有独特两亲性分子结构并可改变液体界面性质的有机化合物.在日常生活、医学、化学工程和生物科学等领域中具有广泛的实际应用价值,如肥皂、农药、除草剂和金属制造添加剂等.对于表面活性剂系统的研究,尤其是在曲面上... 详细信息

表面活性剂是一类具有独特两亲性分子结构并可改变液体界面性质的有机化合物.在日常生活、医学、化学工程和生物科学等领域中具有广泛的实际应用价值,如肥皂、农药、除草剂和金属制造添加剂等.对于表面活性剂系统的研究,尤其是在曲面上对其进行数学建模以及算法分析一直是该领域的热点问题,同时也是一项巨大的挑战.本文主要研究曲面上流体表面活性剂系统的数学建模以及算法分析.首先,考虑几何曲率和流体流动对系统的影响,构建了曲面上二元流体表面活性剂相场模型和曲面上耦合不可压缩Navier-Stokes方程的流体表面活性剂相场模型.其次,将标量辅助变量方法推广到两种模型上,分别得到相应的等价模型.针对等价模型,利用曲面有限元方法、压力校正方法、稳定化处理以及显隐式技术构造了一阶和二阶的离散格式,并证明了一阶格式满足无条件的能量稳定性.最后,通过数值实验,验证了模型的合理性和方法的有效性,并探究了几何曲率和流体流动对系统相分离演化的影响.实验现象表明,曲率会控制流体之一朝着曲率高的位置汇聚或者疏离,且耦合强度越大系统达到稳定状态的速度越快.对于具有流体流动的流体表面活性剂相场模型,同样有上述的现象,但由于流体流动对系统产生影响,使系统在相分离演化的过程中产生了不同于上述情况的偏移.

关键词：表面活性剂系统几何曲率流体流动曲面有限元方法标量辅助变量方法无条件能量稳定性

定常Navier-Stokes方程及磁流体方程的解耦算法

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定常Navier-Stokes方程及磁流体方程的解耦算法

作者：王琨烟台大学

学位级别：硕士

本文致力于研究定常Navier-Stokes方程和磁流体方程的解耦格式.众所周知,定常Navier-Stokes方程的Oseen迭代[35]是无条件稳定的.但它是一种耦合形式,在每次迭代中速度u和压力p都耦合在一起.通过显式处理压力p将出现解耦的迭代,但是这种... 详细信息

本文致力于研究定常Navier-Stokes方程和磁流体方程的解耦格式.众所周知,定常Navier-Stokes方程的Oseen迭代[35]是无条件稳定的.但它是一种耦合形式,在每次迭代中速度u和压力p都耦合在一起.通过显式处理压力p将出现解耦的迭代,但是这种粗糙且简单的处理是不稳定的.为此,我们通过对时间扰动的Navier-Stokes系统采取压力投影方法,从而构造了一个无条件稳定的解耦迭代方法来求解非线性耦合的定常Navier-Stokes方程.其中,时间扰动的Navier-Stokes系统的解随着时间的推移（t→+∞）近似于稳态解.我们也严格地证明了它的无条件稳定性.数值模拟表明,该迭代方法比T-S迭代[20]和广泛使用的Oseen迭代法更有效、更稳定.不可压缩的磁流体动力学（MHD）描述了粘性、不可压缩的导电流体的流动.它在天体物理、受控热核反应和工业上被广泛应用.MHD方程是由流体的Navier-Stokes方程与电磁场的Maxwell方程耦合而来.故,MHD方程具有非线性、耦合性和多物理场等特征.对于MHD方程,我们提出了一阶和二阶线性的、无条件能量稳定的解耦格式.这两种格式灵活运用Navier-Stokes方程的压力投影方法和非线性耦合项的微妙隐显式处理,将双鞍点的MHD方程转换为一系列的椭圆型问题.因此,我们的格式是高效的、易于实施且稳定的.我们进一步证明了时间半离散格式和全离散格式是无条件能量稳定的.最后,进行了几种数值实验Hartmann流和方腔驱动流等,以证明我们格式的稳定性和准确性.在此基础上,我们提出了一个MHD方程的线性的、无条件能量稳定的全解耦格式.前两个解耦格式,由于磁场和速度仍然耦合在一起,并没有完全解耦,只是部分解耦.为此,我们引入了一阶精度项来稳定磁场和速度场的去耦计算.我们在时间半离散和全离散层面上证明了格式是无条件能量稳定的.最后,通过各种数值实验证明了该格式的稳定性和准确性.

关键词：定常Navier-Stokes方程 MHD方程压力投影方法无条件能量稳定性解耦格式