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九元一次方程组求解机的数学原理

中学生数学 2023年第15期 23-26页

作者：曹宇北京市广渠门中学北京100062

1引言1936年,麻省理工学院的JohnB.Wilbur博士(土木工程系助理教授)设计并制造了可以求解某些最多含有9个未知数的一次方程组的机械计算机——“九元一次方程组求解机”(如图1(示意图)).这台机械计算机由铁质框架、十个可以转动的翻板... 详细信息

1引言1936年,麻省理工学院的JohnB.Wilbur博士(土木工程系助理教授)设计并制造了可以求解某些最多含有9个未知数的一次方程组的机械计算机——“九元一次方程组求解机”(如图1(示意图)).这台机械计算机由铁质框架、十个可以转动的翻板和若干以钢带连接的滑轮组成.目前存世的仅此一台.尽管现在人们用电脑以及相应软件可以处理九元方程组,但在80多年前,这种机械计算机却能帮助人们节省大量用于计算的时间.这台机械计算机留下了人类从机械路径解决计算问题的历史印记,也展现了人类在计算领域不断探索的决心!

关键词：机械计算机方程组求解一次方程组助理教授麻省理工学院土木工程系数学原理计算领域

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改进粒子群优化算法的非线性方程组求解研究

自动化技术与应用 2022年第7期41卷 6-9页

作者：郭煜陕西邮电职业技术学院陕西咸阳712000

利用改进粒子群优化算法求解非线性方程组,解决求解计算工程过于复杂、求解精度较低等问题。考虑粒子群中各粒子的位置与速度个体极值和全局极值的相关信息,同时考虑粒子中包含的具体信息,控制粒子群中各类参数实现快速收敛,改进粒子群... 详细信息

利用改进粒子群优化算法求解非线性方程组,解决求解计算工程过于复杂、求解精度较低等问题。考虑粒子群中各粒子的位置与速度个体极值和全局极值的相关信息,同时考虑粒子中包含的具体信息,控制粒子群中各类参数实现快速收敛,改进粒子群优化算法;根据全局极小值点与非线性方程组具有等价性的特点,利用改进后的粒子群优化算法,寻求粒子群体的历史最优位置以及粒子历史最优位置,实现非线性方程组求解。经仿真分析,该方法具有计算速度快,收敛性强,最优解精度较高等效果,能够快速准确获得非线性方程组的解。

关键词：改进粒子群优化算法非线性方程组方程组求解个体极值全局极值

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非连续变形分析中方程组的并行化求解方法

中国科学院大学学报（中英文） 2018年第1期35卷 118-125页

作者：肖云帆肖俊王颖中国科学院大学工程科学学院北京100049

非连续变形分析是针对非连续介质的数值计算方法。该方法存在计算效率较低的问题,而方程组求解是瓶颈。研究非连续变形分析在不同的计算条件下,选择不同的方程组求解方法可获得的计算效率。基于OpenMP与CUDA分别并行实现Jacobi迭代法与J... 详细信息

非连续变形分析是针对非连续介质的数值计算方法。该方法存在计算效率较低的问题,而方程组求解是瓶颈。研究非连续变形分析在不同的计算条件下,选择不同的方程组求解方法可获得的计算效率。基于OpenMP与CUDA分别并行实现Jacobi迭代法与Jacobi预处理共轭梯度法,分析问题规模、计算时步长、块体接触关系对方程组求解效率的影响。通过算例测试,获得不同条件下选择方程组求解方法的经验公式,可有效指导非连续变形分析的并行方案设计。

关键词：非连续变形分析并行计算方程组求解

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利用方程组求解不定积分

徐州工程学院学报（社会科学版） 1994年第Z2期11卷 82-84页

作者：姜英姿

求解不定积分,解方程的技巧是常用的。基于同样的想法,对于某些不定积分,可以构造方程组,适当降低难度,求解不定积分。引理:若求integral（P（x）dx）,构造integral（Q（x）dx）则 :integral（[P（x）+Q（x）]dx）=f（x）+C1 inte... 详细信息

求解不定积分,解方程的技巧是常用的。基于同样的想法,对于某些不定积分,可以构造方程组,适当降低难度,求解不定积分。引理:若求integral（P（x）dx）,构造integral（Q（x）dx）则 :integral（[P（x）+Q（x）]dx）=f（x）+C1 integral（[P（x）-Q（x）]dx）=g（x）+C2 则 :integral（P（x）dx）=1/2[f（x）+g（x）+C 同时 :integral（Q（x）dx）=1/2[f（x）-g（x）]+c’ 引理的证明是显然的,关键是构造Q（x）。为叙述方便,以下略去常数C。（一）从函数的构造上出发,寻找对称式,构造出Q（x）.至少可使方程组中的一个好积。下面的例子多是从sinx到cosx的对称。例1:求integral（sin2xdx）解: 记上式为M,N=integral（cos2xdx） M+N=x ,N-M=1/2sin2x 从而例2:求integral（sin（lnx）dx）解: M=integral（sin（lnx）dx） ,N=integral（cos（lnx）dx） M+N=integral（sin（lnx）dx）+integral（xdsin（lnx））=xsin（lnx） -M+N=integral（xdcoslnx）+integral（coslnxdx）=xcos（lnx）

关键词：方程组求解不定积分构造方程线性积分法降低难度对称式解方程运算比引理数学

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整体法在一次方程组求解中的运用及延伸

宁夏教育 1998年第S1期 106-107页

作者：杜原隆德县桃山中学

整体法在一次方程组求解中的运用及延伸隆德县桃山中学杜原初中数学教学大纲指出：灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组。了解把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”的消元的思想和方法... 详细信息

整体法在一次方程组求解中的运用及延伸隆德县桃山中学杜原初中数学教学大纲指出：灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组，并会解简单的三元一次方程组。了解把“三元”转化为“二元”，把“二元”转化为“一元”的消元的思想和方法，从而初步理解把“未知”转化为“已...

关键词：方程组求解整体法二元一次方程组整体结构解方程组代入消元法观察方程代入法未知数三角形

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结构计算中线性方程组求解综述

工业技术经济 1996年第6期 101-102页

作者：何暑廷长春水电高等专科学校

用差分法或有限单元法计算结构应力时,最终都导致求解线性方程组,而且常常归结为求解大型稀疏方程组(即系效矩阵的阶效很高且零元素较多)。因而,在计算机上求解不同特点的线性方程组是一个非常重要的课题。一般地,线性方程组的解法分... 详细信息

用差分法或有限单元法计算结构应力时,最终都导致求解线性方程组,而且常常归结为求解大型稀疏方程组(即系效矩阵的阶效很高且零元素较多)。因而,在计算机上求解不同特点的线性方程组是一个非常重要的课题。一般地,线性方程组的解法分为迭代法和直接法两大类,迭代法主要有逐次超松弛法、共轭斜量法。直接法主要有高斯消去法、修改的乔雷斯基法。对于满阵的高阶线性方程组要求的存贮容量相当高且计算量相当大,然而,在结构计算中满阵方程组很少见,多数都是稀线性方程组。所以。

关键词：线性方程组的解结构计算方程组求解迭代法超松弛法直接法中线性满阵方程组稀疏矩阵变带宽

基于GPU加速的等几何拓扑优化高效多重网格求解方法

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中国机械工程 2023年

作者：杨峰罗世杰杨江鸿王英俊华中科技大学数字制造装备与技术国家重点实验室华南理工大学机械与汽车工程学院聚合物新型成型装备国家工程研究中心

等几何拓扑优化（ITO）采用统一数学表达描述几何、分析与优化模型，是实现设计分析优化一体化最为有效的方法之一。然而，ITO中等几何分析形成的整体刚度矩阵的稠密度高于传统拓扑优化中的有限元分析所形成的整体刚度矩阵，增加了方程... 详细信息

等几何拓扑优化（ITO）采用统一数学表达描述几何、分析与优化模型，是实现设计分析优化一体化最为有效的方法之一。然而，ITO中等几何分析形成的整体刚度矩阵的稠密度高于传统拓扑优化中的有限元分析所形成的整体刚度矩阵，增加了方程求解的计算量。针对大规模ITO计算量巨大、传统求解方法效率低的问题，提出了一种基于样条h细化的高效多重网格方程求解方法。该方法利用h细化插值得到粗细网格之间的权重信息，然后构造多重网格方法的插值矩阵，获得更准确的粗细网格映射信息，从而提高求解速度。此外，对多重网格求解过程进行分析，构建其高效GPU并行算法。数值算例表明，所提出的求解方法与线性插值的多重网格共轭梯度法、代数多重网格共轭梯度法和预处理共轭梯度法相比分别取得了最高1.47倍、11.12倍和17.02倍的加速比。GPU并行求解相对于CPU串行求解的加速比高达33.86倍，显著提升了大规模线性方程组的求解效率。

关键词：等几何拓扑优化方程组求解 h细化多重网格法 GPU并行计算

方程思想在面积问题中的应用——以求解与圆有关的阴影部分面积为例

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初中数学教与学 2022年第10期 26-28,42页

作者：杨再发贵州省沿河县第六中学 565302

与圆有关的阴影图形的面积,一般可通过图形面积的和、差,或割补重组,或等积变换等手段来解决.但当图形构造较为复杂时,仍用一般方法求解阴影图形的面积会比较麻烦.其中有些问题通过设元,建立方程组求解,往往显得简单明了.这里,笔者略举... 详细信息

与圆有关的阴影图形的面积,一般可通过图形面积的和、差,或割补重组,或等积变换等手段来解决.但当图形构造较为复杂时,仍用一般方法求解阴影图形的面积会比较麻烦.其中有些问题通过设元,建立方程组求解,往往显得简单明了.这里,笔者略举几例加以说明,供大家参考.例1 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4.分别以AC,BC为直径画弧,求图中阴影部分的面积.

关键词：阴影部分等积变换图形面积方程组求解方程思想图形构造

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对Bivium流密码的变元猜测代数攻击

电子学报 2011年第8期39卷 1727-1732页

作者：李昕林东岱中国科学院软件研究所信息安全国家重点实验室北京100190 中国科学院研究生院北京100190

非线性方程组的求解是代数攻击的关键一环.对于一个具体的密码系统,在转化为方程组后,由于其计算上的复杂性,一般采用先猜测部分变元,再进行求解分析的方法.本文首先给出了对于猜测部分变元后子系统平均求解时间的估计模型,提出了基于... 详细信息

非线性方程组的求解是代数攻击的关键一环.对于一个具体的密码系统,在转化为方程组后,由于其计算上的复杂性,一般采用先猜测部分变元,再进行求解分析的方法.本文首先给出了对于猜测部分变元后子系统平均求解时间的估计模型,提出了基于动态权值以及静态权值的猜测变元选则方法和面向寄存器的猜测方法.在计算Gr bner基的过程中,对变元序的定义采用了AB,S,S-rev,SM,DM等十种新的序.同时,提出了矛盾等式的概念,这对正确分析求解结果以及缩小猜测空间有重要作用.最后,我们对Bivium流密码算法的攻击时间进行了估计.结果表明,在最坏情况下,使用DM-rev序及Evy3的猜测位置,猜测60个变元有最优的攻击结果,约2 exp(39.16)秒.

关键词：方程组求解 Grbner基 Bivium流密码算法猜测决策算法矛盾等式