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天体力学中质点的运动规律可归结为一个非线性常微分方程,称为哈密顿系统。而天体运动的最简单形式——周期运动——就对应于此系统的周期解。因此,哈密顿系统的周期解的存在性及其相关性质成为数学家们所关心的重要问题。过去三十多年来,变分方法和莫尔斯理论被成功应用于研究哈密顿系统,并且诞生了哈密顿系统的各种指标理论,特别是辛道路的Maslov型指标理论和Ekeland指标理论具有广泛的应用。本文主要学习和研究凸哈密顿系统的Ekeland指标理论,运用文献法和逻辑推理的方法研究了以下问题。首先,模仿线性哈密顿系统经典文献中的哈密顿正定系统的指标定理,给出类似的指标定理,同时给出了正定哈密顿系统平均指标大于2的新证明。其次,研究了凸哈密顿系统对称周期解的两类Ekeland指标的关系。

关键词：哈密顿系统辛矩阵正定系统指标理论平均指标周期解对称解

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