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Banach空间中有界线性算子束的广义预解式

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Banach空间中有界线性算子束的广义预解式

作者：高双云扬州大学

学位级别：硕士

广义逆理论是在分析学的背景下产生的.1903年,Fredholm对积分算子第一次提出了伪逆的概念.Hilbert在讨论广义Green函数时,含蓄地提出了微分算子的广义逆.用算子理论的术语来说,当一个算子不是双射时,其逆算子不存在,此时就可以讨论其广... 详细信息

广义逆理论是在分析学的背景下产生的.1903年,Fredholm对积分算子第一次提出了伪逆的概念.Hilbert在讨论广义Green函数时,含蓄地提出了微分算子的广义逆.用算子理论的术语来说,当一个算子不是双射时,其逆算子不存在,此时就可以讨论其广义逆.广义逆在数值分析、数理统计、经济学、最优化等应用科学中具有广泛而重要的应用.广义逆扰动理论是广义逆理论的核心内容之一.所谓广义逆扰动问题就是当算子经过微小扰动后是否仍存在广义逆,同时广义逆是否（在某种意义下）收敛于原广义逆.早在1955年,***就研究了矩阵的Moore-Penrose逆的连续性.上世纪70年代,当今国际广义逆理论研究的领导者、美国著名数学家、芬兰世界数学家大会一小时报告者M. Z. Nashed教授对Banach空间中线性算子的广义逆扰动分析作了深刻的论述.随后,M. Z. Nashed、X. Chen、陈果良、丁玖、魏木生、薛以锋、魏益民、马吉溥、黄强联、宋国柱、曹伟平和王玉文等人系统研究了Hilbert空间中Moore-Penrose逆的连续性和Banach空间中线性算子广义逆的扰动稳定性. 对应于算子的预解式,我们可以讨论广义逆情形的广义预解式.广义预解式在谱理论和Fredholm算子理论等研究中有非常重要的应用.M. A. Shubin指出存在一个连续但却不解析的广义逆函数,并提出了广义预解式何时存在的公开问题.该问题引起了A. Hoefer, C. Badea, M. Mbekhta和S. Christoph等一批学者的关注.如M. Mbekhta证明了T-λI∈B（X）在0的某邻域上存在广义预解式的充要条件是T有广义逆且N（T（?）R（Tm）,（?）m∈N随后,C. Badea和M. Mbekhta采用导出极小模和闭子空间的距离等方法,证明了有界线性算子束λ→T-λS在U（0）上存在广义预解式的充分必要条件为N（T-λS）与R（T-λS）分别在X与Y中存在固定的拓扑分解. 本文主要利用有界线性算子广义逆扰动稳定特征来研究线性算子束的广义预解式存在性问题,首先给出了较弱扰动条件情形的广义逆稳定特征,由此得到了线性算子束的广义预解式存在的一系列特征,这些特征指出线性算子束广义预解式的存在特征与广义逆稳定特征是统一的,进而我们可以将一类谱点归结为具有某种正则性的广义正则点,广义正则点已经在非线性分析的局部共轭问题和大范围分析的横截性等研究中有了非常重要的应用.本文的结果不仅推广了一些已知结论,而且还给出了广义预解式的具体表达式.此外,我们采用的方法与给出的特征条件也较便于计算验证,进而可以促进广义正则点的研究. 定理设X,Y为Banach空间,T,T∈B（X,Y）,且T存在广义逆T+∈B（Y,X）.若||（T-T）T+y||≤λ1||y||+λ2||[I+（T-T）T+]y||,（?）y∈Y,其中λ1,λ2∈[0,1）,则下列命题等价：（1）B=T+[I+（T-T）T+]-1为T的广义逆;（2）R（T）∩N（T+）=广义预解式;（3）N（T）（?）R（T+）=X;（4）R（T）（?）（T+）=Y. 定理设X,Y为Banach空间,T,S∈B（X,Y）. （1）若线性算子束T-λS在0的某邻域上存在解析的广义预解式,则T存在有界广义逆,且对T的任一广义逆T+∈B（Y,X）,存在U（0）,使得R（T-λS）∩N（T+）={0),（?）λ∈U（0）;（2）若T存在有界广义逆,且对T的某广义逆T+∈B（Y,X）,存在0的邻域U（0）,R（T-λS）∩N（T+）=广义预解式,（?）∈U（0）,则线性算子束T-λS在0的某邻域上存在解析的广义预解式.此时,算子族G（λ）=T+（I-λST+）-1:Y→X为T-λS在0的某邻域上的广义预解式. 作为应用,我们还给出了下列结论： 1)若算子束T-λS存在连续的广义逆,则必存在解析的广义预解式;2)算子束T-λS的Moore-Penrose广义逆在0的某邻域上为其广义预解式的充要条件为T-λS在0的某邻域上是既保核又保值域的;3)有限秩算子,Fredholm算子和半Fredholm算子存在解析的广义预解式特征与其广义逆的稳定特征是一致的.

关键词：广义逆 Moore-Penrose广义逆广义预解式线性算子束 Fredholm算子半Fredholm算子

Banach空间中稠定闭算子广义预解式的存在性

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Banach空间中稠定闭算子广义预解式的存在性

作者：王丽扬州大学

学位级别：硕士

广义逆理论是一门应用十分广泛的数学分支,其内容极为丰富,主要有矩阵广义逆、线性空间中线性变换的广义逆、Hilbert空间中线性算子的线性广义逆、正交广义逆、Banach空间中线性算子的线性广义逆、度量广义逆及非线性算子的线性广义逆等... 详细信息

广义逆理论是一门应用十分广泛的数学分支,其内容极为丰富,主要有矩阵广义逆、线性空间中线性变换的广义逆、Hilbert空间中线性算子的线性广义逆、正交广义逆、Banach空间中线性算子的线性广义逆、度量广义逆及非线性算子的线性广义逆等等.广义逆扰动理论是广义逆理论研究的核心内容之一,它在计算、最优化、控制论、非线性分析中具有引人注目的应用.本文主要研究Banach空间中稠定闭算子广义逆的扰动问题及其广义预解式的存在性问题.本文首先讨论相对T-有界扰动情形下的闭算子广义逆的扰动稳定特征,我们得到的特征不仅将有界线性算子广义逆的扰动稳定特征推广到闭线性算子情形、也推广了闭算子有界扰动情形,而且可以统一处理扰动保核或保值域情形,同时也便于计算验证.定理设T为从Banach空间X到Banach空间Y中的稠定闭算子,且存在有界广义逆T+∈B(Y,X).δT∈L(X,Y)关于T相对有界,即存在非负常数a,b,满足‖δTu‖≤a‖u‖+b‖Tu‖,(?)u∈D(T).若a‖T+‖+b‖TT+‖广义预解式;(2)B=T+(I+δTT+)-1:Y→X为T=T+δT的广义逆;(3)Y=R(T)⊕N(T+);(4)X=N(T)⊕R(T+);(5)X=N(T)+R(T+);(6)(I+δTT+)-1T:N(T)→R(T).众所周知,谱理论在算子理论研究中起着重要作用.对应于算子的广义逆,我们可以研究算子的广义预解式与广义谱.由闭算子广义逆扰动分析的结果,我们不仅得到了闭算子广义预解式存在的充分必要条件,还给出了广义预解式的表达式.定理设T为Banach空间X到其自身的稠定闭算子,且存在有界广义逆.(1)若T在O的某邻域上存在解析的广义预解式,则对T任一有界广义逆T+∈B(X),存在0的邻域V使得R(T-λI)∩N(T+)=广义预解式,(?)λ∈V(2)若对T的某有界广义逆T+∈B(X),存在O的邻域U,使得R(T-λI)∩N(T+)=广义预解式,(?)λ∈U,则T在O的某邻域上存在解析的广义预解式.此时,Rg(T-λ)=T+(I-λT+)-1:X→X是T在0的某邻域上的一个广义预解式.作为应用,我们给出了Fredholm算子及半Fredholm算子的广义预解式的存在性特征.定理设T为Banach空间X到其自身的稠定闭半Fredholm算子.若T存在有界广义逆T+∈B(X),则T在0的某邻域上存在解析的广义预解式当且仅当存在O的邻域U,使得dim N(T-λI)=dim N(T)广义预解式.定理设T为Banach空间X到其自身的稠定闭Fredholm算子,则T在0的某邻域上存在解析的广义预解式当且仅当存在0的邻域U,使得dim N(T-λI)=dim N(T)广义逆,则Rg(T-λ)=T+(I-λT+)-1:X→X是T在0的某邻域上的一个广义预解式.

关键词：广义逆广义预解式闭算子 Fredholm算子半Fredholm算子

Banach空间中的有界线性算子广义预解式的存在性

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南京大学学报（数学半年刊） 2005年第1期22卷 47-52页

作者：方正南京大学数学系，南京210093

本文利用Banach空间中有界线性算子广义逆的稳定性特征来研究广义预解式的存在性,借助这一结果我们对两类重要的有界线性算子:Semi-Fredholm算子和有限秩算子给出其存在广义预解式的具体的特征.

关键词：广义逆广义预解式 Semi-Fredholm算子有限秩算子

Hilbert空间中广义算子半群范数连续的特征

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数学的实践与认识 2016年第7期46卷 258-263页

作者：魏静隋丽丽葛世刚仓定帮华北科技学院基础部北京101601

研究了Hilbert空间上最终范数连续广义算子半群的特征条件,利用半群的生成元的预解式,给出了Hilbert空间上广义算子半群范数连续的三个特征条件.

关键词：广义算子半群范数连续广义预解式

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广义算子半群范数连续问题研究

数学的实践与认识 2016年第8期46卷 233-237页

作者：隋丽丽魏静于健仓定帮华北科技学院基础部北京101601

研究了Hilbert空间上范数连续广义算子半群的特征条件.利用广义半群的的预解式,给出了广义算子半群范数连续的充分条件.

关键词：广义算子半群范数连续广义预解式

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广义逆的稳定扰动与广义谱

广义逆的稳定扰动与广义谱

作者：伏开成扬州大学

学位级别：硕士

广义逆稳定扰动理论是广义逆的核心内容之一.早在上世纪七十年代,著名广义逆研究专家***教授首先对Banach空间中线性算子的广义逆扰动分析作了深刻的论述.之后,马吉溥、陈果良、王玉文、丁玖、薛以锋和魏益民等人系统研究了Hilbert空间... 详细信息

广义逆稳定扰动理论是广义逆的核心内容之一.早在上世纪七十年代,著名广义逆研究专家***教授首先对Banach空间中线性算子的广义逆扰动分析作了深刻的论述.之后,马吉溥、陈果良、王玉文、丁玖、薛以锋和魏益民等人系统研究了Hilbert空间中Moore-Penrose逆的连续性和Banach空间中线性算子广义逆的扰动稳定性,广义逆扰动理论在计算、最优化、控制论和非线性分析中具有明显的应用.对应于算子的预解式,我们可以讨论广义逆情形的广义预解式.广义预解式在谱理论和Fredholm算子理论等研究中有非常重要的应用,***指出存在连续但不解析的广义逆函数,同时提出广义预解式何时存在的公开问题,该问题引起了 ***,***和***等学者的广泛关注,相关的成果已广泛应用于广义谱理论、Fredholm算子等方面.本文主要利用广义逆稳定扰动理论来研究广义预解式的存在性,证明了广义预解式的局部解析性与广义逆函数连续或者局部有界等价.以此讨论了预解集、谱集、广义预解集及广义谱集之间的关系,证明了广义预解集为开集,广义谱集是非空有界闭集,谱半径和广义谱半径相等等结论.最后我们讨论了为什么会利用广义逆而不是常见的Moore-Penrose逆或群逆来定义广义预解式.

关键词：广义逆稳定扰动广义预解式广义预解恒等式广义谱集

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关于单调算子方程构造可解性问题的解答

自然杂志 1984年第8期 633-633页

作者：徐宗本西安交通大学

在1974年5月美国数学会举办的“希尔伯特问题的数学结果”专题讨论会上,***曾提出下述构造可解性问题(即问题ⅩⅩⅡ(G))。设X是自反巴拿赫空间,A是从X到X~*的连续、有界、单调、强制映象,X-1单值且有已知连续模,问:是否能对方程Ax=0解... 详细信息

在1974年5月美国数学会举办的“希尔伯特问题的数学结果”专题讨论会上,***曾提出下述构造可解性问题(即问题ⅩⅩⅡ(G))。设X是自反巴拿赫空间,A是从X到X~*的连续、有界、单调、强制映象,X-1单值且有已知连续模,问:是否能对方程Ax=0解的存在性给出一个构造性证明?对所

关键词：广义预解式巴拿赫空间自反方程有界单值完备赋范空间泛函分析极大单调映象可解性局部一致凸实数序列