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带跳的平均场随机微分方程的中偏差

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中国科学：数学 2020年第1期50卷 87-100页

作者：马小翠席福宝济宁学院数学系曲阜273155 北京理工大学数学与统计学院北京100081

平均场随机微分方程是一类在众多工程和科学领域具有广泛应用的随机模型.本文利用弱收敛的方法建立由Poisson随机测度驱动的平均场随机微分方程的中偏差原理.

关键词：中偏差平均场随机微分方程 Poisson随机测度

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连续鞅驱动的平均场随机微分方程

连续鞅驱动的平均场随机微分方程

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作者：田蓉蓉华中科技大学

学位级别：硕士

随机微分方程是用来刻画客观世界物质变化的一种有效的数学工具，它是在确定性微分方程的研究过程中发展起来的一门重要学科。现在，随机微分方程理论已日趋完善，并在通讯控制系统、经济金融等领域中有着广泛而深远的应用。平均场理论... 详细信息

随机微分方程是用来刻画客观世界物质变化的一种有效的数学工具，它是在确定性微分方程的研究过程中发展起来的一门重要学科。现在，随机微分方程理论已日趋完善，并在通讯控制系统、经济金融等领域中有着广泛而深远的应用。平均场理论最初被用于解决原子核系统的相关问题，它能将一些复杂问题简化，把高维的问题转化成低维的问题来求解。经典的随机微分方程是由Brown运动驱动的，其系数依赖于概率空间上的随机函数。本文主要研究的是用由连续鞅驱动的，随机系数是在平均场意义下的随机函数。本文主要分四个部分。第一章，阐述平均场随机微分方程的发展历程及本课题的来源。第二章，介绍连续鞅的随机积分，随机时刻变化等相关理论。第三章，在随机系数关于位置满足一致Lipschtiz条件及线性增长的条件下，利用Picard迭代的方法证明了由连续鞅驱动的平均场随机微分方程适应解的存在唯一性。第四章，首先在Lyapunov意义下，介绍常微分方程的稳定性判定定理。其次，类似常微分方程的稳定性判定定理，用Lyapunov直接方法建立随机微分方程的稳定性判定定理。然后证明连续鞅的平均场随机微分方程的稳定性在随机时刻变换前后保持一致。最后，对连续鞅驱动的平均场随机微分方程的平凡解的随机稳定性进行分析证明。

关键词：连续鞅平均场随机微分方程 Lyapunov函数存在唯一性随机稳定性

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平均场正倒向随机控制系统的最大值原理

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数学物理学报（A辑） 2019年第1期39卷 143-155页

作者：李瑞敬广东财经大学统计与数学学院

该文研究具有时间不连续效用函数的平均场随机系统最优控制问题.其中,扩散项系数包含控制变量且控制区域非凸.借助于延拓的Ekeland变分原理及递归方法,建立平均场理论框架下一般形式的随机最大值原理.最后,求解一个线性二次问题以论证... 详细信息

该文研究具有时间不连续效用函数的平均场随机系统最优控制问题.其中,扩散项系数包含控制变量且控制区域非凸.借助于延拓的Ekeland变分原理及递归方法,建立平均场理论框架下一般形式的随机最大值原理.最后,求解一个线性二次问题以论证结果的可行性.

关键词：平均场随机微分方程最大值原理伴随方程延拓的Ekeland变分原理

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单调性条件下平均场情形的随机最大值原理

单调性条件下平均场情形的随机最大值原理

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作者：张乐乐山东大学

学位级别：硕士

Pontryagin,Boltyanski,Gamkrelidze 和 Mischenko[46]研究了确定性系统的最大值原理,给出了最优控制满足的必要条件。随后,Kushner[33,34]利用Girsanov方法得到了连续参数下随机系统的最优控制的必要条件,Haussmann[50]给出了在扩散系... 详细信息

Pontryagin,Boltyanski,Gamkrelidze 和 Mischenko[46]研究了确定性系统的最大值原理,给出了最优控制满足的必要条件。随后,Kushner[33,34]利用Girsanov方法得到了连续参数下随机系统的最优控制的必要条件,Haussmann[50]给出了在扩散系数不依赖于控制的情形下更一般的随机最大值原理。后来又有很多学者进一步研究了 Pontryagin型的随机最大值原理,即主要在控制域为凸集的假设下得到相应的随机最大值原理。Peng[44]首次给出了克服这一困难的方法,得到了在控制域不一定为凸集且扩散项系数可以依赖于控制情形的随机最大值原理,称为Peng的随机最大值原理。Buckdahn,Djehiche和Li[13]研究了一类平均场随机微分方程(SDE)的随机控制问题,得到了 Peng的随机最大值原理。Buckdahn,Li和Ma[15]进一步研究了方程系数依赖于状态变量的分布时的Peng的随机最大值原理。随机最大值原理,尤其是平均场情形下的随机最大值原理,大部分工作都是假设系数满足Lipschitz条件。本文的创新之处是弱化Lipschitz条件,研究单调性条件下,平均场情形的相应的Pontryagin和Peng的随机最大值原理。这种推广,不局限于假设漂移项系数关于状态变量满足单调性条件,同时也假设其关于分布也满足单调性条件。本文的第一部分首先研究了单调性条件下平均场随机受控系统的随机最大值原理,其中随机受控系统形式如下:(?)(1)使得以下代价泛函最小的控制u(·)称为最优控制:J(u(·))=E[∫T0f(t,xu(t),E[xu(t)],u(d))dt+h(xu(T),E[xu(T)])].(2)我们的目的是研究最优控制u(·)满足的条件。我们假设方程(1)的漂移项系数关于变量x,y均满足单调性条件,即:(b(t,x1,y,u)-b(t,x2,y,u))(x1-x2)≤α|x1-x2|2,α>0,(b(t,x,y1,u)-b(t,x,y2,u))(y1-y2)≤β|y1-y2|2,β>0.为了研究此条件下的随机最大值原理,本文证明了单调性条件下平均场随机微分方程(1)解的存在唯一性和各种估计,这是本文的难点之一。然后假设控制域为凸集,利用凸扰动的技巧,给出了一种局部形式的Pontryagin型的随机最大值原理,并举例说明。进一步,当控制域不一定为凸集时,利用1990年Peng[44]所提出的方法,我们考虑二阶变分方程和相关二阶伴随方程,证明了 Peng的随机最大值原理,同时给出了一个例子。本文的第二部分研究了当平均场随机微分方程系数依赖于状态变量分布时的随机最大值原理。考虑如下受控的随机微分系统:(?)(3)此时方程系数不仅依赖于状态变量,还依赖于它的分布。给出以下代价泛函:(?)(4)记u*是使得以上代价泛函最小的最优控制。我们假设方程(3)的漂移项系数关于变量x,μ分别满足以下单调性条件:(b(t,x1,μ,u)-b(t,x2,μ,u))(xi-x2)≤α|x1-x2|2,α>0,(b(t,x,PY1,u)-b(t,x,PY2,u))E[Y1-Y2]≤β(W1(PY1,PY2)2,,β>0.首先证明此条件下方程(3)的解的存在唯一性以及所需估计。然后,利用凸扰动和对偶的技巧,证明了 Pontryagin型的随机最大值原理。最后,在控制域不一定为凸集的假设下,利用针状变分得到了所需估计并证明了 Peng的随机最大值原理。本部分的难点主要在于需要对相关函数关于测度求导并得到相关的各种估计。不同于经典情形的是,这里的伴随方程是满足单调性条件的平均场倒向随机微分方程(BSDE),本文也证明了其解的存在唯一性。

关键词：随机最大值原理平均场随机微分方程倒向随机微分方程单调性条件 Wasserstein 度量

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