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从罗尔定理到山路定理

理论数学 2024年第7期14卷 135-141页

作者：黄晨韦一鸣上海理工大学理学院上海

山路定理是现代临界点理论的标志性结果,它是证明非线性椭圆型偏微分方程有解的重要工具。本文旨在研究有限维山路定理的初等证明以及有限维山路定理与微积分之间的关系。再在此基础上,给出山路定理的应用实例。本文从教学实际出发,为... 详细信息

山路定理是现代临界点理论的标志性结果,它是证明非线性椭圆型偏微分方程有解的重要工具。本文旨在研究有限维山路定理的初等证明以及有限维山路定理与微积分之间的关系。再在此基础上,给出山路定理的应用实例。本文从教学实际出发,为学生进入研究生阶段理解非线性分析中的重要定理提供有益帮助。

关键词：临界点理论山路定理罗尔中值定理

Izydorek-Janczewska超二次非周期哈密顿系统同宿轨道存在定理的一个新证明

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Izydorek-Janczewska超二次非周期哈密顿系统同宿轨道存在定理的...

作者：张艳萍中央民族大学

学位级别：硕士

本文考虑超二次非周期哈密顿系统q(t)+Vq(t,q(t))=f(t),t∈R(HS2)同宿轨道解的存在性,其中V(t,q)=-K(t,q)+W(t,q)关于变量t是T-周期的,K满足pinching条件b1|q|2≤K(t,q)≤b2|q|2,W满足(AR)条件,f∈L∞(R,Rn)∩L2(R,Rn).在文献[21]中,Izydorek与Janczewska详细研究了上述问题,其基本思路是,对(?)k≥1,在空间Ek(?)W2kT1,2(R,Rn)上,考虑周期问题#12得到其解qk=qk(t)∈Ek,对{qk}作一系列估计后,可知qk(t)→q(t)∈ Cloc1(R,Rn)为(HS2)的一个同宿轨道解.与之不同,本文利用Brezis-Nirenberg型山路定理,得到(HS2)相应的能量泛函φ的一个(C)c*序列{qm},进而证明{qm}存在一个弱收敛子列,其弱极限即为(HS2)的一个同宿轨道解.其次,本文对上述问题做了若干推广:(1)将(AR)条件推广至(AR)γ条件;(2)研究一类四阶非线性常微分方程的同宿轨道解;(3)研究一类六阶非线性常微分方程的同宿轨道解;(4)对(2)、(3)两类问题作(AR)γ推广.本文共分五章,其主要内容如下:第一章为绪论,介绍了哈密顿系统同宿轨道解相关的研究进展,以及本文的主要研究结果和创新点.第二章介绍了与本文相关的预备知识.第三章对关于(HS2)的同宿轨道解的Izydorek-Janczewsksa定理给出了一个新的证明,虽然相应的能量泛函φ不满足(PS)条件,但可利用Brezis-Nirenberg型山路定理得到φ的一个(C)c,序列{qm},进而可证明{qm}的一个子列弱收敛到(HS2)的一个非平凡同宿轨道解.第四章进一步证明了将超二次(AR)条件减弱至(AR)γ条件后,(HS2)仍然存在同宿轨道解.第五章利用类似方法证明了在两类四阶和六阶的非线性常微分方程同宿轨道解的存在性.同样地,对其进行(AR)γ推广后也可得到类似的结果.

关键词：哈密顿系统山路定理临界点同宿轨道解 (C)c*序列

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一类具有非局部项和临界项椭圆方程的正解

数学学报（中文版） 2018年第3期61卷 411-430页

作者：柳鸠廖家锋唐春雷西南大学数学与统计学院重庆400715 黔南民族师范学院数学与统计学院都匀558000 西华师范大学数学与信息学院南充637002

本文研究下列具有临界项的Kirchhoff型方程（a＋b∫R3[｜ u｜2＋V（x）u2]dx）.[-△u＋V（x）u]=μf（x,u）＋K（x）u5,x∈R3,其中，a,b,μ〉0，位势函数V,K满足一些恰当的条件，非线性项，满足超三次或超线性增长性条件．利用山路定理... 详细信息

本文研究下列具有临界项的Kirchhoff型方程（a＋b∫R3[｜ u｜2＋V（x）u2]dx）.[-△u＋V（x）u]=μf（x,u）＋K（x）u5,x∈R3,其中，a,b,μ〉0，位势函数V,K满足一些恰当的条件，非线性项，满足超三次或超线性增长性条件．利用山路定理，得到三个存在性结果．

关键词： Kirchhoff型方程山路定理临界指数

R^N上的分数p-Laplacian方程弱解的存在性

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中山大学学报（自然科学版） 2018年第1期57卷 49-54页

作者：程伟柏仕坤徐家发重庆师范大学数学科学学院重庆401331

研究R^N上的分数p-Laplacian方程。在弱于经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件下,运用山路定理获得该方程弱解的存在性,推广和完善了已有的一些结果。

关键词：分数p-Laplacian方程弱解山路定理

一类具有指数型增长的拟线性椭圆方程解的存在性与多重性

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数学学报（中文版） 2022年第6期65卷 1045-1056页

作者：裴瑞昌天水师范学院数学与统计学院天水741000

本文研究一类具有次临界多项式增长或次临界指数型(临界指数型)增长的(p,2)-拉普拉斯方程一个正解及无穷多非平凡解的存在性,运用山路定理及喷泉定理,得到了拉普拉斯方程非平凡解的一些存在性结果.

关键词： (p,2)-拉普拉斯问题次临界或临界指数型增长山路定理喷泉定理

具有变号非线性项的拟线性椭圆方程多解的存在性

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数学学报（中文版） 2015年第3期58卷 457-462页

作者：徐家发韦忠礼董卫重庆师范大学数学学院重庆401331 山东建筑大学理学院济南250101 河北工程大学数学系邯郸056038

利用山路定理研究了具有Dirichlet边值问题-div(|▽u|^(2p-2)▽u/(1+|▽u|^(2p))^(1/2))=λf(x,u)多解的存在性,且非线性项f可以变号.

关键词：拟线性椭圆方程 Dirichlet边界山路定理多解变号非线性项

带临界指数的分数阶Schrödinger方程解的存在性

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北京化工大学学报（自然科学版） 2024年第6期51卷 124-130页

作者：张吉凤赵雷嘎北京工商大学数学与统计学院北京102401

研究一类带临界指数的分数阶Schrödinger方程解的存在性。在扰动项满足较弱的条件下,利用山路定理证明了方程至少具有一个非平凡解。

关键词：分数阶Schrödinger方程山路定理临界指数

一类非齐次Schrodinger-Poisson系统解的存在性

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北京化工大学学报（自然科学版） 2021年第4期48卷 119-124页

作者：蔡武晋边慎赵雷嘎北京化工大学数理学院北京100029 北京工商大学数学与统计学院北京100048

研究一类非齐次Schrodinger-Poisson系统{-△u+V(x)u+φ(x)u=f(u)+g(x),x∈R^(3)-△φ=u^(2),x∈R^(3)。当V(x)为径向对称位势,非齐次扰动项g(x)的范数足够小时,通过Ekeland’s变分原理和结合单调性方法的山路定理,证明了该系统解的存在性;当V(x)为强制位势且f(u)为奇函数时,通过(sP.S)_(c)条件和对称山路引理构造一趋于无穷大的临界值序列,获得系统无穷多解的存在性。

关键词： Schrodinger-Poisson方程位势函数变分方法 Ekeland’s变分原理 (sP.S)_(c)条件山路定理

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一类基尔霍夫型微分系统的周期解

山东大学学报（理学版） 2019年第10期54卷 1-6页

作者：张申贵西北民族大学数学与计算机科学学院

利用变分原理研究一类超线性基尔霍夫型p(t)-Laplace系统的周期解。在Ambrosetti-Rabinowitz型增长条件不满足时,根据变化的山路定理,得到了系统周期解的存在性结果。

关键词：基尔霍夫型方程 p(t)-Laplace系统周期解临界点山路定理