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中国科学：数学 2016年第5期46卷 747-768页

作者：张克威 CROOKS Elaine ORLANDO Antonio School of Mathematical Sciences University of Nottingham Department of Mathematics Swansea University FACET Universidad Nacional de Tucumn

补偿凸上变换和下变换是对给定函数作"紧贴"逼近的单参数单向变换.本文将它们应用到R^n中局部具有一般模的半凸/半凹函数和DC-函数(即两个凸函数的差函数)的奇点提取.(局部)半凹函数最常见的几何例子有Euclid距离函数和平方Euclid距离函... 详细信息

补偿凸上变换和下变换是对给定函数作"紧贴"逼近的单参数单向变换.本文将它们应用到R^n中局部具有一般模的半凸/半凹函数和DC-函数(即两个凸函数的差函数)的奇点提取.(局部)半凹函数最常见的几何例子有Euclid距离函数和平方Euclid距离函数.对于局部具有一般模的半凸函数f,本文证明在局部意义下,x是f的奇点(即不可微点)当且仅当它是f的1-阶"谷点",因而用本文的方法可以从具有一般模的局部半凸函数中提取所有的这些精细的几何奇点.更确切地讲,如果f是局部具有一般模的半凸函数,则"局部的"1-阶"山谷"变换在每个点x的极限存在,而且有显式表示lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x^2/4,其中Vλ(f)(x)是f在x点的"山谷"变换,rx是f在x点次微分?-f(x)的最小包含球面的半径.所以,极限函数V∞(f)(x):=lim_(λ→+∞)λV_λ(f)(x)=r_x^2/4提供了一个半凸函数奇点1-阶"谷点"的"景观函数".同时,它也提供了补偿上凸变换Cuλ(f)(x)当λ→+∞时的一阶渐近展开式.对于具有局部线性模的局部半凸函数,本文进一步证明,补偿凸上变换的梯度当λ→+∞时的极限lim_(λ→+∞)▽C_λ~u(f)(x)存在,并且这个极限等于次微分?-f(x)的最小包含球面的中心.对于DC-函数f=g-h,本文证明它的1-阶"边缘"变换,当λ→+∞时满足lim inf_(λ→+∞)λE_λ(f)(x)(r_(g,x)-r_(h,x))~2/4,其中r_(g,x)和r_(h,x)分别是次微分?-g(x)和?-h(x)的最小包含球面的半径.

关键词：补偿凸变换山峰变换山谷变换半凸函数半凹函数奇点提取最小包含球面局部逼近

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