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等圆Packing问题高效求解算法研究

等圆Packing问题高效求解算法研究

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作者：王正理华中科技大学

学位级别：硕士

作为一类经典的NP难度问题,考虑空间紧密布局的Packing问题一直在工业界和学术界有着很高的研究价值。根据容器和装载物体形状差异,Packing问题可以细分为很多类。深入研究了等圆Packing问题,即在二维圆形容器中装入给定数量的半径相等... 详细信息

作为一类经典的NP难度问题,考虑空间紧密布局的Packing问题一直在工业界和学术界有着很高的研究价值。根据容器和装载物体形状差异,Packing问题可以细分为很多类。深入研究了等圆Packing问题,即在二维圆形容器中装入给定数量的半径相等的二维圆形物体,要求容器中物体和物体、物体和容器边界均无重叠,目标是最小化圆形容器的半径。本文分别针对容器内小圆数目不超过320的小规模等圆Packing和小圆数目超过320的大规模等圆Packing问题,提出了两种有效的算法。对于待放圆的数量小于等于320的小规模问题,提出了一种高效的拟人拟物算法。将待放圆视为弹性小球,重叠时产生弹性势能,使用经典的拟牛顿法BFGS算法,通过局部优化策略加快计算速度;当整体势能达到局部最优的时候,设计了先缩小大圆半径再松弛的新的高效跳坑策略,使下一轮梯度下降达到一个更好的格局;如此反复迭代,直到找到一个全局最优解。实验结果表明,该算法在圆形物体的数量n为1到320的这320个典型算例中找到了66个比当前国际最优解更优的布局方案。对于待放圆的数量较高的大规模问题,对整个系统进行梯度下降的策略很难在合理时间内得到布图紧密的优质解。通过将机器学习优化中的随机梯度下降方法与经典拟牛顿法相结合,设计了基于变批次随机优化的圆形Packing算法。对待放圆形进行随机分批(Batch),初始时枚举每个批次,每步只对当前批次的圆进行梯度下降,并依此多次迭代。在后续迭代中,逐步将Batch的规模放大直至Batch包含全部待放圆。实验表明,基于变批次随机优化的圆形Packing算法在n=300、400、……、800、1100、1300的8个大规模算例上在合理时间内得到了布图紧密的优质解,n=300时的解与当前世界最好纪录持平。

关键词：等圆Packing 拟牛顿法局部梯度下降跳坑策略随机梯度下降

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