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数学物理学报（A辑） 2016年第6期36卷 1124-1136页

作者：张宏伟刘功伟呼青英河南工业大学数学系郑州450001

该文考虑一类具对数源项波动方程的初边值问题.利用Galerkin方法结合对数Sobolev不等式和对数Gronwall不等式,对所有初始值得到了整体解的存在性.通过引入位势井,给出了解在时间无穷远处爆破(即指数增长)的充分条件.当具有对数源项的波... 详细信息

该文考虑一类具对数源项波动方程的初边值问题.利用Galerkin方法结合对数Sobolev不等式和对数Gronwall不等式,对所有初始值得到了整体解的存在性.通过引入位势井,给出了解在时间无穷远处爆破(即指数增长)的充分条件.当具有对数源项的波动方程还带有线性阻尼时,通过构造适当的Lyapunov函数,得到了能量的衰减估计.

关键词：对数波动方程整体存在性指数增长衰减

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具对数源项的半线性波方程解的长时间行为研究

具对数源项的半线性波方程解的长时间行为研究

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作者：吕冬东北电力大学

学位级别：硕士

波方程在物理学、工程学、流体力学、材料学和其他一些领域有着广泛应用,许多学者投入了大量的精力去研究这些方程的相关问题,其中对于波方程解的存在性、唯一性、稳定性和不稳定性等性质研究成为重要的研究课题之一。本文主要研究了一... 详细信息

波方程在物理学、工程学、流体力学、材料学和其他一些领域有着广泛应用,许多学者投入了大量的精力去研究这些方程的相关问题,其中对于波方程解的存在性、唯一性、稳定性和不稳定性等性质研究成为重要的研究课题之一。本文主要研究了一类具对数源项和记忆项的变系数半线性波动方程解的渐近稳定性和指数增长。本文的特色在于,在源项前面引入了变系数,该模型可以描述波在非均匀外力作用下的传导。对于解的渐进稳定性我们选用适当乘子通过能量方法证明了方程能量的指数衰减。而对于解的指数增长则是通过选择适当的辅助泛函,导出相应微分不等式,并发现模型在特定初值条件下方程能量的指数增长。进一步揭示了对数源项与记忆项对波方程解的长时间行为的影响,具体工作如下:1.解的长时间稳定性。我们采用乘子法,在H01（Ω）上构造能量泛函E（t）。根据给出的前提假设与引理,可以首先得到能量泛函E（t）的导数是小于等于零的,即E（t）是非增的。再利用Talenti-Sobolev不等式,对数索伯列夫不等式,杨氏不等式和嵌入定理,对方程中的‖u‖22、‖ut‖22‖▽u‖22项进行估计,得到能量泛函的非负性,并在此基础上证明了存在正数ω和λ使得E（t）≤λE（0）e-ωΨ（t）,进一步说明了能量泛函E（t）是指数衰减的,也即方程是渐近稳定的。2.解的指数增长性。在该部分,我们以k0=1,k1=0为例证明了方程的解在无穷远处的指数增长,其他情况的证明与之并无本质区别。首先,构造适当的泛函κ（t）用以证明在初值较大的条件下,方程解的‖u‖2有非零下界。之后,通过构造与能量泛函等价的辅助泛函L（t）,得到L（t）所满足的微分不等式,进而证明解的指数增长。值得一提的是,在证明中只要求|b（x）|＜b1,即多项式源项系数b（x）是关于x的有界函数,而并未规定其符号,因此在指数增长的证明中我们采用了分类讨论的思想,对以下三种情形:（1）（?）,（2）（?）,（3）（?）,均证明了L’（t）＞0以及L（t）＜β（ε,k）L’（t）。再在（0,t）上对L（t）＜β（ε,k）L’（t）做积分得到不等式（?）。该不等式说明只要初值满足‖φ（x）‖2＞γ*方程的解及其导数的L2（Ω）范数就呈指数增长,即∫Ω|u（x,t）|2dx+∫Ω|ut（x,t）|2dx→+∞,t→+∞。

关键词：对数波动方程变系数稳定性指数增长非线性阻尼记忆阻尼

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