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求解大规模非线性与线性方程组的几类加速Kaczmarz方法研究

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求解大规模非线性与线性方程组的几类加速Kaczmarz方法研究

作者：王雨晴东华理工大学

学位级别：硕士

近年来,受大数据分析与人工智能等新兴产业技术领域的发展需求驱动,求解大规模非线性与线性方程组的随机迭代方法引起了国内外学者的高度重视.高效随机迭代方法的设计、推广、应用与理论分析具有十分重要的应用价值和理论意义.本文利用H... 详细信息

近年来,受大数据分析与人工智能等新兴产业技术领域的发展需求驱动,求解大规模非线性与线性方程组的随机迭代方法引起了国内外学者的高度重视.高效随机迭代方法的设计、推广、应用与理论分析具有十分重要的应用价值和理论意义.本文利用Heavy-Ball技术、近似贪婪、Sketching采样、矩阵论、概率论、数值优化和数值代数等理论与方法,提出求解大规模非线性与线性方程组的几类加速Kaczmarz方法,主要工作如下:论文第一部分的研究工作考虑大规模相容线性方程组.首先,结合贪婪策略和Heavy-Ball技术,提出了带动量贪婪随机Kaczmarz(GRK)方法(m GRK).其次,基于矩阵和优化理论,建立了m GRK方法的全局线性收敛理论.最后,数值实验表明m GRK方法在迭代步数和计算时间方面均优于GRK方法,具有很好的加速效果.论文第二部分的研究工作围绕大规模非线性方程组.首先,为进一步提高非线性Kaczmarz(NK)方法的求解效率,基于最大残差采样准则,提出了一个最大残差非线性Kaczmarz(MRNK)方法,建立了其收敛理论并说明了该方法不需要计算整体雅可比矩阵.其次,受求解大规模线性方程组块Kaczmarz类方法的有效性启发,基于近似最大残差准则的块采样方法,发展了最大残差块非线性Kaczmarz(MRBNK)方法.结合扫描-投影思想和Sketched Newton-Raphson(SNR)方法,提出了与MRBNK方法等价的确定性SNR(DSNR)方法,继而在相应假设和μ-强拟凸条件下建立了DSNR方法的全局收敛理论.最后,数值实验验证了MRNK方法和MRBNK方法的有效性和加速效果.为克服MRBNK方法难以并行计算、含伪逆或求解最小二乘问题的缺陷,首先,基于近似最大残差采样准则和免伪逆计算思想,提出了免伪逆块最大残差非线性Kaczmarz(FBMRNK)方法.此外,证实了FBMRNK方法是SNR方法的一种免伪逆变形.其次,在适当假设、μ-强拟凸或star-凸假设条件下,建立了FBMRNK方法的全局收敛理论.最后,数值实验验证了FBMRNK方法的收敛速度快于NK,NRK,MRNK和MRBNK等方法,在计算时间加速上效果显著.

关键词：大规模线性方程组大规模非线性方程组收敛性理论 Heavy-Ball方法非线性Kaczmarz方法免伪逆

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解大规模线性方程组的Mann迭代并行算法

计算机应用与软件 2008年第8期25卷 62-64页

作者：胡晓力田有先重庆邮电大学计算机科学与技术学院重庆400065

利用实函数不动点的Mann迭代算法,提出了一种求解大规模线性方程组新的并行算法,分析了算法的并行加速比,讨论了算法在基于消息传递机制的MPI并行环境下的实现流程,给出了并行环境上的实验。该算法适用范围广,数值计算结果表明理论分析... 详细信息

利用实函数不动点的Mann迭代算法,提出了一种求解大规模线性方程组新的并行算法,分析了算法的并行加速比,讨论了算法在基于消息传递机制的MPI并行环境下的实现流程,给出了并行环境上的实验。该算法适用范围广,数值计算结果表明理论分析与实际计算相符合,算法在并行环境下具有较好的并行度,可适合大规模科学与工程的高性能计算。

关键词： Mann迭代大规模线性方程组并行算法

基于PS分裂的求解大规模线性方程组的迭代法研究

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基于PS分裂的求解大规模线性方程组的迭代法研究

作者：初鲁华东理工大学

学位级别：硕士

大规模线性方程组常出现在工程实践和科学计算等许多领域当中,研究高效准确的数值求解方法是一件很有意义的事情。已有的求解线性方程组的方法中,直接法运算效率较低,误差较大;传统的雅可比算法等虽格式简单,但对矩阵性质要求较高。近年... 详细信息

大规模线性方程组常出现在工程实践和科学计算等许多领域当中,研究高效准确的数值求解方法是一件很有意义的事情。已有的求解线性方程组的方法中,直接法运算效率较低,误差较大;传统的雅可比算法等虽格式简单,但对矩阵性质要求较高。近年来,HSS算法、PSS算法等被提出,这些方法格式简单,收敛性质较好,是目前研究求解大规模线性方程组的主流方法之一。为了有效的求解大规模正定方程组,本文提出了一类广义LHSS算法,该方法形式简单,在处理某些大规模正定方程组时性能优于HSS算法。同时,针对鞍点问题的求解,给出了基于矩阵PS(positive-definite and skew-Hermitian)分裂的广义PSS算法和PSS-SOR类算法,通过数值计算证明了两类方法的有效性。在文章最后,将本文给出的方法进行了汇总,分析了将来的研究方向。

关键词：大规模线性方程组鞍点矩阵收敛性谱半径 PS分裂

求解大规模线性方程组快速随机Kaczmarz方法理论与应用研究

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求解大规模线性方程组快速随机Kaczmarz方法理论与应用研究

作者：江宇同中国矿业大学

学位级别：硕士

Kaczmarz方法是求解大规模线性方程组的一种常用迭代方法.该方法在信号处理,图像处理等领域得到了广泛的应用.经典的Kaczmarz方法通过循环遍历系数矩阵的行,在每次迭代时将当前点投影到由工作行形成的超平面上.但是,由于遍历矩阵的行的... 详细信息

Kaczmarz方法是求解大规模线性方程组的一种常用迭代方法.该方法在信号处理,图像处理等领域得到了广泛的应用.经典的Kaczmarz方法通过循环遍历系数矩阵的行,在每次迭代时将当前点投影到由工作行形成的超平面上.但是,由于遍历矩阵的行的工作量很大,Kaczmarz方法在实际中往往运行很慢.随机Kaczmarz方法的出现大大提高了Kaczmarz方法效率.随机Kaczmarz方法的一个明显的缺点是它选择系数矩阵中工作行的概率准则存在失效的情况.最近Bai和Wu提出了一个新的概率准则,该准则在每个迭代步骤中尽可能地捕获残差向量较大分量对应的行,并由此提出了一种贪婪随机Kaczmarz方法(GRK).然而,贪婪随机Kaczmarz方法在矩阵规模较大时,工作量非常大,不适于大数据问题的求解.本文的主要贡献如下:第一、我们从概率显著性的角度出发,提出了一种部分随机Kaczmarz方法,它可以降低贪婪随机Kaczmarz方法所需的计算成本,并建立了收敛性结果.第二、基于Chebyshev大数定律和Z-检验,我们将简单随机抽样方法应用于部分随机Kaczmarz方法,提出了新算法,并证明了其收敛性.第三、我们将新策略应用于岭回归问题,提出了一种简单随机抽样的部分随机Kaczmarz岭回归方法.数值实验表明了我们所提新算法在处理大型线性方程组问题和岭回归问题时,优于目前一些流行的随机Kaczmarz方法.

关键词：随机Kaczmarz方法贪婪随机Kaczmarz方法大规模线性方程组岭回归问题 Chebyshev大数定律简单随机抽样

一种基于敏捷集群计算系统的并行GMRES方法

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无线电通信技术 2024年第1期50卷 162-167页

作者：何康馨席国江陈颖西南电子技术研究所敏捷智能计算四川省重点实验室四川成都610065

随着通信系统和人工智能的飞速发展,以智慧城市、智慧工厂和智能制造等为代表的多种新型应用场景不断涌现,使得通信、感知和计算等系统的一体化成为技术发展的新趋势。人工智能新型应用场景对大规模高效敏捷计算提出了新的要求,基于敏... 详细信息

随着通信系统和人工智能的飞速发展,以智慧城市、智慧工厂和智能制造等为代表的多种新型应用场景不断涌现,使得通信、感知和计算等系统的一体化成为技术发展的新趋势。人工智能新型应用场景对大规模高效敏捷计算提出了新的要求,基于敏捷集群计算系统,提出了一种并行广义最小残差(Generalized Minimal Residual, GMRES)方法,主要通过并行矩阵向量乘法和并行高瘦矩阵QR(Tall and Skinny QR,TSQR)分解实现Krylov子空间的高效并行构造,充分利用集群计算系统的计算和通信性能,实现大规模线性方程组Ax=b的快速求解,其中A为一个n×n的矩阵,在工程实践中,n可达数十万甚至百万规模。通过求解二维泊松方程的有限元离散得到的刚度方程,验证了算法的有效性。

关键词：敏捷集群计算并行广义最小残差方法 Krylov子空间大规模线性方程组

求解超大规模多右端线性系统的随机块Kaczmarz方法研究

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求解超大规模多右端线性系统的随机块Kaczmarz方法研究

作者：常乔中国矿业大学

学位级别：硕士

随机块Kaczmarz方法在求解大规模线性系统中扮演一个重要的角色。对于块Kaczmarz方法最关键的点在于如何有效选取工作行块。然而,在目前流行的随机块Kaczmarz方法中,选取工作行块都需要事先计算概率或者残量,即需要扫描系数矩阵的全部... 详细信息

随机块Kaczmarz方法在求解大规模线性系统中扮演一个重要的角色。对于块Kaczmarz方法最关键的点在于如何有效选取工作行块。然而,在目前流行的随机块Kaczmarz方法中,选取工作行块都需要事先计算概率或者残量,即需要扫描系数矩阵的全部信息。对于大规模的数据问题,随机块Kaczmarz方法及其变形需要遍历系数矩阵的全部行或扫描系数矩阵的全部信息计算全部残量,利用此类方法求解大规模或超大规模线性方程组将花费较大的代价。而且,针对求解多右端线性方程组,Kaczmarz方法如何有效地选择工作行并进行解的同时更新与迭代仍然是一个问题。为了解决以上问题,我们分别提出了针对求解单右端和多右端线性方程组的带简单随机抽样的半随机块Kaczmarz方法。所提出的方法不需要在每次迭代中扫描或平铺系数矩阵的全部数据,也不需要在每次迭代中计算全部的概率和残量。同时,我们提出块Kaczmarz方法有效选取工作行块的准则,并给出了收敛理论。大量数值结果表明,我们所提出的方法优于一些目前流行的随机类的块Kaczmarz方法。

关键词：随机块Kaczmarz方法半随机块Kaczmarz方法块Kaczmarz方法大规模线性方程组多右端线性方程组

求解多右端向量方程组的块共轭梯度法及其相关研究进展

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求解多右端向量方程组的块共轭梯度法及其相关研究进展

基于MIC集群平台的GMRES算法并行加速

第三届全国计算爆炸力学会议

作者：孙树立陈璞北京大学工学院力学与空天技术系

共轭梯度法是求解大型线性方程组较为流行的方法之一。在结构有限元分析中,往往需要求解不同工况或荷载种类作用下的结构响应。本文首先简要介绍了能求解多右端向量方程组的块共轭梯度法,并通过实际工程算例说明了该方法的数值特性,然... 详细信息

共轭梯度法是求解大型线性方程组较为流行的方法之一。在结构有限元分析中,往往需要求解不同工况或荷载种类作用下的结构响应。本文首先简要介绍了能求解多右端向量方程组的块共轭梯度法,并通过实际工程算例说明了该方法的数值特性,然后总结分析了该方法的相关研究进展,最后结合结构有限元分析指出了一些今后可以开展的研究方向。

关键词：大规模线性方程组共轭梯度法块共轭梯度法预条件有限元分析

来源： cnki会议评论

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计算机科学 2017年第4期44卷 197-201,240页

作者：王明清李明张清张广勇吴韶华浪潮集团高效能服务器和存储技术国家重点实验室济南250101 太原理工大学数学学院太原030024

广义极小残量法(GMRES)是最常用的求解非对称大规模稀疏线性方程组的方法之一,其收敛速度快且稳定性良好。Intel Xeon Phi众核协处理器(MIC)具有计算能力强、易编程、易移植等特点。采用MPI+OpenMP+offload混合编程模型将GMRES算法移植... 详细信息

广义极小残量法(GMRES)是最常用的求解非对称大规模稀疏线性方程组的方法之一,其收敛速度快且稳定性良好。Intel Xeon Phi众核协处理器(MIC)具有计算能力强、易编程、易移植等特点。采用MPI+OpenMP+offload混合编程模型将GMRES算法移植到MIC集群平台上。采用进程间集合通信异步隐藏、数据传输优化、向量化以及线程亲和性优化等多种手段,大幅提升了GMRES算法的求解效率。最后将并行算法应用到"局部径向基函数求解高维偏微分方程"问题的求解中。测试表明,CPU节点集群上开启32个进程,并行效率高达71.74%,4块MIC卡的最高加速性能可达单颗CPU的7倍。

关键词：广义极小残量法 MIC MPI 大规模线性方程组

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基于门限密码学的安全外包计算的研究

基于门限密码学的安全外包计算的研究

作者：陈正超电子科技大学

学位级别：硕士

随着现代社会的发展,计算任务的复杂度越来越高,客户端的计算任务变得越来越繁重。但是由于客户端的计算能力受到硬件设备的影响,客户端的计算能力无法达到满足现代计算的水准。因此,如何将客户端的计算任务外包给服务器进行计算,成了... 详细信息

随着现代社会的发展,计算任务的复杂度越来越高,客户端的计算任务变得越来越繁重。但是由于客户端的计算能力受到硬件设备的影响,客户端的计算能力无法达到满足现代计算的水准。因此,如何将客户端的计算任务外包给服务器进行计算,成了现在面临的问题。安全外包计算的出现就是为了解决客户端计算能力不足与计算任务的计算量过大之间的矛盾。一般的安全外包计算协议都需要满足三个性质,分别是可外包性,安全性和可验证性。当前的大部分的安全外包计算协议只能对特定的函数进行外包计算,无法适用于一般的函数计算,而对任何计算任务进行安全外包计算的协议的复杂度又过高,因此,本文构建了一个能够对一般函数进行外包的安全外包计算协议。本文从门限密码学入手,利用加密算法的同态性来构建了一个适用于一般函数的外包计算协议,同时提出了相应的验证方法。本文的主要工作内容和创新如下:1.本文从门限密码学入手,首先提出了一个(2-3)门限加密算法。之后,本文利用(2-3)门限加密算法构建了一个正确的安全的外包计算协议。该协议实现了(2-3)门限密文上的密文加法运算和密文乘法运算,利用算法的同态性实现了对一般函数的外包计算。同时,本文论证了该协议的正确性,又对该系统的安全性和可外包性进行了定义并证明。2.本文提出了两种方法来实现上述协议的可验证性。第一种方法将计算任务外包给两个不共谋的服务器进行计算,客户端判断两个计算结果是否一致来进行结果验证。第二种方法是客户端进行一段预处理算法得到验证密钥,利用验证密钥对计算结果进行验证。本文对这两种方法都进行了安全性、可外包性和可验证性的证明。3.本文针对解大规模线性方程组的计算任务,利用初等变换矩阵的性质,提出了一个安全外包计算协议。该协议是一个非交互的协议,相比以往的协议,有着少量的效率提升。

关键词：安全外包计算门限密码学可验证性云计算大规模线性方程组