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解分裂等式问题及多集分裂等式问题的迭代算法

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应用泛函分析学报 2016年第1期18卷 68-75页

作者：田殿路石洛宜天津工业大学理学院天津300387

设H1,H2,H3是三个实Hilbert空间,{Ci}mi=1（∈）H1,{Qj}rj=1（∈）H2是非空闭凸集,A：H1 →H3,B：H2→H3是两个有界线性算子.多集分裂等式问题可表述为：找点x∈∩mi=1 Ci,y∈∩rj=1 Qj使得Ax=By.当m=r=1时,多集分裂等式问题简化为分裂... 详细信息

设H1,H2,H3是三个实Hilbert空间,{Ci}mi=1（∈）H1,{Qj}rj=1（∈）H2是非空闭凸集,A：H1 →H3,B：H2→H3是两个有界线性算子.多集分裂等式问题可表述为：找点x∈∩mi=1 Ci,y∈∩rj=1 Qj使得Ax=By.当m=r=1时,多集分裂等式问题简化为分裂等式问题.分裂等式问题及多集分裂等式问题在现实世界中有广泛应用.例如医学图像恢复,计算机断层扫描,放射治疗等等.这篇文章运用一个新的探索方向构造迭代算法来解分裂等式问题及多集分裂等式问题,目的在于提高收敛速度.

关键词：分裂等式问题多集分裂等式问题迭代算法

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分裂等式相关问题迭代算法的线性收敛性研究

分裂等式相关问题迭代算法的线性收敛性研究

作者：孙士杰天津工业大学

学位级别：硕士

1994年,Censor和Elfving从相位恢复和图像复原等问题中抽象出了分裂可行性问题.该问题在诸多领域都有着广泛的应用,故成为了非线性泛函分析方向所研究的热点问题,受到了众多学者的关注.2013年,Moudafi在分裂可行性问题研究的基础上,提... 详细信息

1994年,Censor和Elfving从相位恢复和图像复原等问题中抽象出了分裂可行性问题.该问题在诸多领域都有着广泛的应用,故成为了非线性泛函分析方向所研究的热点问题,受到了众多学者的关注.2013年,Moudafi在分裂可行性问题研究的基础上,提出了分裂等式问题.随后,基于分裂等式问题,学者们又提出了许多新的分裂等式相关问题.为了求解分裂等式问题及其相关问题,人们提出了各种各样的算法并探究了这些算法的收敛性.然而,这些算法几乎都是弱收敛或强收敛的,我们从中不能得到这些算法明确的收敛速率.但是,收敛速率在实际应用中有着非常重要的理论意义.这是由于如果清楚了算法的收敛速率,那么在误差已知的条件下,我们便可以得到算法的迭代次数,以便于计算机实现求解.为了得到收敛速率,学者们研究了几个问题的线性收敛性,如分裂可行性问题、分裂等式问题和多集分裂等式问题.而大多数分裂等式相关问题的线性收敛性还没有学者进行研究,值得我们对其进行进一步地探索.此外,在探究各种算法线性收敛速率的过程中,人们利用了有界线性正则的概念.但是,有界线性正则性的条件较强.因此,分裂等式问题及其相关问题在相对较弱的条件下的收敛速率也值得我们进行进一步地研究.本文主要从多集分裂等式问题,分裂等式不动点问题和分裂等式混合均衡问题三个方面进行探索.我们首先将有界线性正则性的条件弱化提出了有界H?lder正则性的概念,利用该性质证明了求解多集分裂等式问题的一个已知算法的次线性和线性收敛性,并给出了其收敛速率.其次,我们利用有界线性正则性分别研究了求解分裂等式不动点问题和分裂等式混合均衡问题算法的线性收敛性.最后,我们利用数值实验验证了我们的结果并将分裂等式混合均衡问题线性收敛的结果应用到分裂等式均衡问题,分裂等式凸极小化问题,分裂等式混合变分不等式问题和分裂等式变分不等式问题中.

关键词：多集分裂等式问题分裂等式不动点问题分裂等式混合均衡问题有界H(?)lder正则性有界线性正则性线性收敛次线性收敛

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分裂等式问题算法的收敛速率研究

分裂等式问题算法的收敛速率研究

作者：冯美玲天津工业大学

学位级别：硕士

1994年,Censor和Elfving[1]在模拟相位复原和医学图像重建的问题中提出了分裂可行性问题,对这个问题的研究已经取得了一定的成果.2013年,Moudafi在[13]中推广了分裂可行性问题,首次提出分裂等式问题.为了求解该问题,陆续有许多作者给出... 详细信息

1994年,Censor和Elfving[1]在模拟相位复原和医学图像重建的问题中提出了分裂可行性问题,对这个问题的研究已经取得了一定的成果.2013年,Moudafi在[13]中推广了分裂可行性问题,首次提出分裂等式问题.为了求解该问题,陆续有许多作者给出了各式各样的算法,同时证明了这些算法的强收敛性或弱收敛性,但是几乎没有对算法的收敛速率进行研究,收敛速率是指由算法生成的序列收敛于它的极限点的速度的快慢.所以,值得我们对其进一步的研究.本文主要研究以下内容:1.多集分裂可行性问题（多集分裂等式问题的一种特殊情况）:本文提出了一个新的三步迭代算法,并证明了它的强收敛性,该算法要比先前的算法收敛速度快,对此我们提供了数值结果来证实算法的有效性.2.多集分裂等式问题:本文在第三章和第四章分别提出了多集分裂等式问题满足有界线性正则性质和有界Holder正则性质的概念,并给出了一些温和的条件,确保了提出算法的线性收敛性和次线性收敛性,并通过数值结果证明了算法的有效性.

关键词：多集分裂可行性问题多集分裂等式问题三步迭代算法线性收敛有界线性正则有界H(?)lder正则

无穷维HILBERT空间中分裂等式问题及其相关问题

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无穷维HILBERT空间中分裂等式问题及其相关问题

作者：田殿路天津工业大学

学位级别：硕士

分裂可行性问题是出现在信号处理,放射治疗和医学图像重建等现实问题中的一类重要的逆问题.设H1,H2是两个实Hilbert空间,C（?）H1,Q（?）H2是两个非空闭凸集,A:→H2是一个有界线性算子.分裂可行性问题可表述为:找一点x∈C使得Ax ∈ Q.... 详细信息

分裂可行性问题是出现在信号处理,放射治疗和医学图像重建等现实问题中的一类重要的逆问题.设H1,H2是两个实Hilbert空间,C（?）H1,Q（?）H2是两个非空闭凸集,A:→H2是一个有界线性算子.分裂可行性问题可表述为:找一点x∈C使得Ax ∈ Q.为了解该问题,许多作者已经给出了各种各样的算法.2012年,Moudafi对分裂可行性问题进行了推广,提出了分裂等式问题.设H1,H2,H3是三个实Hilbert空间,C（?）H1,Q（?）H2是两个非空闭凸集,A:H1→H3,B:H2 →H3是两个有界线性算子.分裂等式问题可表述为:找点x∈C,y∈Q使得Ax=By.显然,当H2=H3,B=I（单位算子）时,分裂等式问题就简化为分裂可行性问题.针对分裂等式问题,许多作者也已给出了相应的算法.鉴于分裂等式问题及其相关问题在现实世界中的重要应用,值得我们对其进一步研究.在这篇文章中,我们主要研究了分裂等式问题的几类相关问题:一,多集分裂等式问题:设H1,H2,H3是三个实Hilbert空间,{Ci}（i=1）t（?）H1,{Qj}（j=1）r（?）H2是两组非空闭凸集,A:H1→H3,B:H2→H3是两个有界线性算子,则多集分裂等式问题可表述为:找点x ∈∩（i=1）t Ci,y∈∩（j=1）r Qj使得Ax=By.并给出了相应的迭代解法-有自适应步长的算法和构造方向法,算法的主要思想在于减少计算量和提高收敛速度;二,分裂等式不动点问题:设H1,H2,H3是三个实Hilbert空间,T1:H1→H1,T2:H2 →H2是两个非线性算子,Fix（T1）,Fix（T2）分别是算子T1,T2的不动点集且Fix（T1）≠（?）,Fix（T2）≠（?）,A:H1→H3,B:H2→H3是两个有界线性算子,则分裂等式不动点问题可表述为:找点x∈Fix（T1）,y∈Fix（T2）使得Ax=By.相应的迭代解法不需要相关算子的半紧性而具有强收敛性;三,将分裂等式问题与变分包含问题结合的分裂等式变分包含问题:设H1,H2,H3是三个实Hilbert空间,U:H1→2H1:H2→2H2 是两个集值极大单调算子,A:H1 →H3,B:H2→H3是两个有界线性算子.则分裂等式变分包含问题可表述为:找点x∈H1,y∈H2使得0 ∈U（x）,0∈K（y）,Ax=By.我们给出的迭代解法强收敛到分裂等式变分包含问题的最小范数解.

关键词：分裂可行性问题分裂等式问题多集分裂等式问题变分包含问题

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不同分裂反问题的强收敛理论

不同分裂反问题的强收敛理论

作者：刘霄霄河南师范大学

学位级别：硕士

分裂反问题是一类问题的总称,它包含了分裂变分不等式问题,分裂可行性问题,以及由分裂可行性问题衍生出的分裂等式问题,多集分裂可行性问题,多集分裂等式问题,渐进分裂可行性问题等一系列具体的问题.文章主要研究分裂反问题中的分裂可... 详细信息

分裂反问题是一类问题的总称,它包含了分裂变分不等式问题,分裂可行性问题,以及由分裂可行性问题衍生出的分裂等式问题,多集分裂可行性问题,多集分裂等式问题,渐进分裂可行性问题等一系列具体的问题.文章主要研究分裂反问题中的分裂可行性问题,分裂等式问题以及多集分裂等式问题的强收敛理论.这些问题在科学和技术领域,如强度放射治疗、信息处理、影像重构等,都有很广泛的应用,故研究解决这些问题的算法具有很重要的现实意义.文章总共分了五部分:第一章,介绍分裂可行性问题,分裂等式问题以及多集分裂等式问题的发展过程,了解这三个问题的研究背景和研究现状.第二章,回顾在后续章节的证明过程中会用到的基础知识和已知结论.第三章,针对于分裂可行性问题,在现有算法的基础上,作者使用一种新的映射-W-映射,结合粘滞型算法的构造方式,构造出了一种新的粘滞型算法,并证明了该粘滞型算法的强收敛性,说明了该算法解决分裂可行性问题的有效性.第四章,针对于分裂等式问题,首先,作者将其转化为不动点方程组求解的问题.在解决分裂等式问题时,王丰辉老师曾用这个方法分别构造出了强弱收敛算法.受该思路的启发,我们改变参数的选择方法,重新构造了一个新的不动点方程组,并证明了该方程组求解的问题与分裂等式问题求解是等价的;其次,作者根据新的不动点方程组,给出了松弛交替算法并证明了算法的弱收敛性;最后,为了得到更强的结论,作者在弱收敛算法的基础上进行改善,并证明了改善后算法的强收敛性.第五章,针对多集分裂等式问题,在蒋立宁教授等人通过特殊选择方法给出强收敛迭代算法的基础上,作者在算法中融入惯性技巧,构造了新的惯性松弛CQ算法,推广了蒋立宁教授等人所给结论,并证明了算法的强收敛性.第六章,总结文章所得的结论并展望未来的工作.

关键词：分裂反问题分裂可行性问题分裂等式问题多集分裂等式问题