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复数阶开关广义Mandelbrot集

应用数学和力学 2003年第1期24卷 67-73页

作者：王兴元大连理工大学电子与信息工程学院大连116024

基于作者提出的开关复映射 ,阐述了开关广义Mandelbrot集 (简称开关广义M集 )的构造方法 ,并构造出一系列复数阶的开关广义Mandelbrot集·　通过分析广义M集的构造算法 ,阐述了广义M集的结构特点·　在此基础上对在开关映射作用下复C平... 详细信息

基于作者提出的开关复映射 ,阐述了开关广义Mandelbrot集 (简称开关广义M集 )的构造方法 ,并构造出一系列复数阶的开关广义Mandelbrot集·　通过分析广义M集的构造算法 ,阐述了广义M集的结构特点·　在此基础上对在开关映射作用下复C平面上初始点的轨道进行了研究 ,发现开关广义M集具有分形结构 ,其结构特征依赖于复指数w及开关变量r0 ,其断裂的原因是主幅角选取的不连续性·

关键词：复数阶 Mandelbrot集复映射开关广义M集分形演化开关映射

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复数阶分数傅里叶变换的光学解释

激光杂志 2012年第3期33卷 17-18页

作者：马荣荣李勇李伟杨虎山西师范大学物理与信息工程学院临汾041004

基于分数傅里叶变换的级联性,将变换级次由实数扩展到复数,获得了复数阶分数傅里叶变换的定义,推证了分数傅里叶变换的帕赛瓦尔定理,分析了其与吸收介质内部光传过程的等效性,诠释了复数阶分数傅里叶变换的物理机制,计算机模拟实验验证... 详细信息

基于分数傅里叶变换的级联性,将变换级次由实数扩展到复数,获得了复数阶分数傅里叶变换的定义,推证了分数傅里叶变换的帕赛瓦尔定理,分析了其与吸收介质内部光传过程的等效性,诠释了复数阶分数傅里叶变换的物理机制,计算机模拟实验验证了结论的可靠性。

关键词：复数阶分数傅里叶变换能量分析

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复数阶蔡氏电路系统混沌及其应用研究

复数阶蔡氏电路系统混沌及其应用研究

作者：林晓然重庆大学

学位级别：硕士

复数阶混沌动力学系统由于复数阶自身的特点,比整数阶和分数阶系统具有更为复杂、丰富的动力学特性,同时还具有和分数阶、整数阶一样的随机性和不可预测性等优点。近几年来,基于分数阶微积分动力学系统的研究已经受到越来越多人的关注,... 详细信息

复数阶混沌动力学系统由于复数阶自身的特点,比整数阶和分数阶系统具有更为复杂、丰富的动力学特性,同时还具有和分数阶、整数阶一样的随机性和不可预测性等优点。近几年来,基于分数阶微积分动力学系统的研究已经受到越来越多人的关注,在分数阶的应用和分数阶混沌系统及其控制与同步,保密通信等诸多领域,都取得了不少的理论和实践成果。本文基于分数阶的理论基础,以著名的蔡氏电路系统为研究对象,分析了复数阶蔡氏电路和时滞蔡氏电路的各种动力学行为,并计算了由倍周期分岔通向混沌的各种动力学状态对应的Lyapunov指数,最后讨论了复数阶动力学系统在保密通信方面的优势,本文就以下几个问题进行了深入的研究。主要研究工作及成果如下: ①复数阶数值计算的研究基于分数阶微积分的定义,提出有效的计算复数阶微积分的算法。首先介绍了分数阶微积分主要定义的数值计算,众所周知,分数阶微积分定义是由n阶整数阶导数推广而来,同样我们把分数阶定义继续推广到复数阶,并对高斯函数进行了数值计算,最后对几种不同阶数的数值计算结果进行了比较,验证了定义推广及数值计算的合理性。 ②复数阶混沌动力学系统动力学行为的研究利用相轨迹图、分岔图和Lyapunov指数图研究了复数阶Chua电路系统（包括时延Chua电路系统）。本文利用C-C方法针对复数阶系统的特点（包括实数和虚数两部分）对实数和虚数数据序列分别计算,得到实部和虚部数据序列各自的延迟时间和嵌入维数,然后对时间序列进行空间重构,再利用小数据量方法计算了Chua电路系统、带时滞Chua电路系统的最大Lyapunov指数。最大Lyapunov指数与我们通过模拟实验得到的各种轨迹图——倍周期,单涡卷、双涡卷等各种动力学行为是一一对应的,实验验证了Lyapunov指数与分岔图和相轨迹图表现的动力学行为是一致的,同时两个系统也清晰的展现了系统的演化过程——由倍周期分岔通向混沌的各种状态。最后我们还对复数阶Chua电路系统、带时滞Chua电路系统的各种动力学行为进行比较,发现时滞Chua电路系统较不带时滞Chua电路系统有着更复杂的动力学行为。 ③复数阶混沌动力学系统在保密通信中的应用研究了复数阶Chua氏电路系统混沌掩码保密通信问题,建立通信模型并进行了仿真。保密通信是混沌应用研究中最为常见的一种,是因为混沌的保密性比较好,抗干扰能力比较强。目前大家研究的对象为分数阶或者整数阶动力学混沌系统,但是如果是复数阶混沌系统,由于阶数为复数,其本身有两部分构成,利用这一特点将大大的增加密钥空间,同时复数阶混沌系统的结构也更复杂,这样大大提高了通信的保密性,为保密通信的研究提供了更广阔的发展空间。我们对Chua氏电路系统进行混沌掩码保密通信的计算机仿真,并用实验模拟了噪声对系统的影响,仿真结果验证了理论分析的可行性。?

关键词：复数阶混沌保密通信

关于“复数阶仿导数”和“复数阶微积分方程”的设想

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华东交通大学学报 1996年第3期13卷 77-85页

作者：刘诗俊

本文对于ｆ（ｘ）∈（Ｒ１），定义了它的＂复数阶仿导数ｆ（α）（ｘ）＂，并且对ｆ（ｘ）∈（Ｒ１）证明了ｆ（α）（ｘ）在全复平面上是复交量α的解析函数．我们发现当ａ＝－１时，ｆ＜１＞（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，因此当Ｒｅα... 详细信息

本文对于ｆ（ｘ）∈（Ｒ１），定义了它的＂复数阶仿导数ｆ（α）（ｘ）＂，并且对ｆ（ｘ）∈（Ｒ１）证明了ｆ（α）（ｘ）在全复平面上是复交量α的解析函数．我们发现当ａ＝－１时，ｆ＜１＞（ｘ）是ｆ（ｘ）的原函数，因此当Ｒｅα＜０时，我们又称ｆ（α）（ｘ）是ｆ（Ｘ）的复数阶积分．本文还对ｆ（ｘ）∈ｅ（Ｒ１）定义了它的＂复数阶广义仿导数ｆ（α）（ｘ）＂．文中还研究了方程．ｆ（α）（ｘ）－Ｇ（α）ｆ（ｘ）＝０（α∈Ｃ），并称之为＂复数阶微积分方程＂．得到了其解的表达式．

关键词：复数阶仿导数复数阶积分复数阶微积分方程

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一类复数阶解析函数的性质

廊坊师范学院学报（自然科学版） 2009年第5期9卷 10-13页

作者：周琦北京航空航天大学北京100191

对于一类由Salagean微分算子定义的复数阶解析函数,给出其充分条件。利用数学归纳法及正实部函数族Herglotz定理的推论,给出该类函数的系数估计不等式,研究并得到当参数取任意复数时其Fekete-Szeg不等式。

关键词：解析函数复数阶系数估计 Fekete-Szeg不等式

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非自治耗散电路系统混沌及其应用研究

非自治耗散电路系统混沌及其应用研究

作者：邹珍强重庆大学

学位级别：硕士

分数阶和复数阶混沌动力学系统有着比整数阶系统具有更为丰富、复杂的动力学特性，同时还具有整数阶一样的随机性和不可预测性增加等优点。因此，近年来基于分数阶和复数阶微积分动力学系统的研究取得了不少的理论和实践成果。分数阶和... 详细信息

分数阶和复数阶混沌动力学系统有着比整数阶系统具有更为丰富、复杂的动力学特性，同时还具有整数阶一样的随机性和不可预测性增加等优点。因此，近年来基于分数阶和复数阶微积分动力学系统的研究取得了不少的理论和实践成果。分数阶和复数阶混沌电路系统及其控制与同步、混沌保密通信等具有广阔的应用前景而受到人们的广泛关注。本文以简单的非自治耗散电路系统为研究对象，分析了分数阶和复数阶简单自治耗散系统的各种动力学行为，并计算了其由倍周期分岔通向混沌的各种动力学状态所对应的最大Lyapunov指数，最后讨论了分数阶和复数阶简单非自治耗散电路系统在保密通信方面的应用。本文就以上所述问题进行了深入研究，主要成果如下： ①分数阶混沌系统动力学行为的研究首先将整数阶简单非自治耗散电路系统转化为分数阶简单非自治耗散电路系统，然后应用分数阶的时域求解法、结合迭代的思想，构造出了分数阶混沌系统的求解方法。借助Matlab软件平台，以分数阶简单非自治耗散电路系统为模型进行仿真，得到了在某个状态下出现混沌现象的参数值，并给出了分数阶简单非自治耗散电路系统的混沌吸引子的相图和最大Lyapunov指数图。系统阶数在一定区域范围变化的运动相轨迹图，清晰的展现了系统的演化过程——由倍周期分岔通向混沌。使用小数据量法计算了分数阶简单的非自治耗散电路系统的最大Lyapunov指数，其结果与相图所表现的动力学现象一致。 ②复数阶混沌系统动力学行为的研究分数阶微积分定义是由n阶整数阶导数推广而来，类似的我们可以将分数阶微积分定义推广到复数阶，并得出复数阶简单非自治耗散电路系统的解法。利用系统相图和最大Lyapunov指数图是观测复数阶简单非自治耗散系统运动行为的有效手段。系统阶数在一定区域范围变化的相轨迹图，可以清晰展现复数阶简单非自治耗散系统的演化过程——由倍周期分岔通向混沌。用小数据量法计算了复数阶简单非自治耗散电路系统的最大Lyapunov指数，实验验证了最大Lyapunov指数和相图所表现的动力学行为是一致的。 ③分数阶和复数阶混沌动力学系统在保密通信中的应用因为混沌具有较好的保密性和较强的抗干扰能力，使得保密通信成为混沌研究中最常见的应用之一。混沌同步是混沌通信的基础和前提,目前人们已经发明了许多性能良好的混沌同步模式，然而这些模式不能完全照搬到分数阶和复数阶动力学系统中。本文采用基于混沌掩盖方案来实现分数阶和复数阶非自治耗散电路系统混沌掩码保密通信问题，并建立通信模型并进行仿真，仿真结果验证了理论分析的可行性。

关键词：分数阶复数阶混沌保密通信

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前言

应用数学与计算数学学报 2015年第2期29卷 I0001-I0004页

作者：段俊生寇春海李常品

分数阶做积分已有三百多年的发展历史，它几乎与整数阶微积分同时出现．之所以被称为“分数阶”，完全是由于历史的原因．实际上，分数阶微积分允许计算给定函数的任意实数阶甚至是复数阶的积分和导数。分数阶导数的想法最早由L＇Hospi... 详细信息

分数阶做积分已有三百多年的发展历史，它几乎与整数阶微积分同时出现．之所以被称为“分数阶”，完全是由于历史的原因．实际上，分数阶微积分允许计算给定函数的任意实数阶甚至是复数阶的积分和导数。分数阶导数的想法最早由L＇Hospital于1695年向G.W.Leibnitz提出，在GwLeibniz的回信中，他们首次讨论了关于1／2阶导数的定义的可能性及其蕴涵的深远意义。

关键词：分数阶微积分分数阶导数发展历史任意实数阶整数阶复数阶函数蕴涵