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非线性项带导数的薛定谔方程有效稳定性问题

非线性项带导数的薛定谔方程有效稳定性问题

引用

作者：张鹏华东师范大学

学位级别：硕士

非线性项带导数的薛定谔方程是物理中非常重要的数学模型。本文研究类给定位势的非线性项带导数的薛定谔方程i(?)lu-(?)xxu+V*u=i(?)/(?)x((?)uf(|u|2)),x∈T=R/2πZ (0.1)在周期边界条件u(x+2π,t)=u(x,t)下的有效稳定性问题。其中位势... 详细信息

非线性项带导数的薛定谔方程是物理中非常重要的数学模型。本文研究类给定位势的非线性项带导数的薛定谔方程i(?)lu-(?)xxu+V*u=i(?)/(?)x((?)uf(|u|2)),x∈T=R/2πZ (0.1)在周期边界条件u(x+2π,t)=u(x,t)下的有效稳定性问题。其中位势V属于集合本文主要结论,对于任意的V∈(?),当索伯列夫空间指数s足够大时,如果方程(0.1)的解的初始值u(x,0)的指标s的索伯列夫范数小于足够小的ε>0,则相应的解在很长时间内满足||u(x,t)-u(x,0)||s≤2ε.为了证明该结论,首先通过傅里叶变换把方程(0.1)转换为离散的无穷维微分方程。由于原方程具有一定的特殊形式,再结合恰当的辛结构,该无穷维微分方程即为无穷维哈密顿系统。又因为原方程非线性项含有导数,相应的无穷维哈密顿方程即具有无界扰动。接下来应用无穷维无界哈密顿系统的Birkhoff正规型理论得到具有4次正规型的相应的哈密顿函数。该理论需要哈密顿系统的频率满足较强的非共振条件。本文得到了在位势V∈(?)的情况下,直到4次的强非共振条件。最后结合4次Birkhoff正规型和哈密顿系统的对称性得到了无穷维无界哈密顿的长时间稳定性,进而得到(0.1)的长时间稳定结论。

关键词：非线性项带导数的薛定谔方程哈密顿系统偏微分方程无界扰动长时间稳定零动量

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