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变分不等式和不动点问题的新迭代算法

数学学报（中文版） 2022年第1期65卷 77-88页

作者：郭丹妮蔡钢重庆师范大学数学科学学院重庆401331

本文在Hilbert空间上引入了一个新迭代算法,找到了伪单调变分不等式问题的解集与伪非扩张映射的不动点集的公共元.通过修改的超梯度算法,得到了弱收敛定理.所得结果推广和提高了许多最新结果.

关键词：伪单调算子变分不等式不动点超梯度算法

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变分不等式自适应投影算法研究

变分不等式自适应投影算法研究

作者：陈林西华师范大学

学位级别：硕士

在最优化理论中,变分不等式广泛的应用于运筹学,经济科学,管理学等领域.为了求解不同的变分不等式问题,出现了多种类型的变分不等式算法.为了优化这些算法,采用自适应的步长是一个有效的策略.本文主要研究了在希尔伯特空间中求解伪单调... 详细信息

在最优化理论中,变分不等式广泛的应用于运筹学,经济科学,管理学等领域.为了求解不同的变分不等式问题,出现了多种类型的变分不等式算法.为了优化这些算法,采用自适应的步长是一个有效的策略.本文主要研究了在希尔伯特空间中求解伪单调变分不等式的自适应投影收缩算法.新算法在2022年Pham Ky Anh等人的文章基础上使用了一种具有更大的步长来提高算法的收敛速度.并且,在与Pham Ky Anh等人的文章具有相同的假设条件下,证明了新算法生成的序列能强收敛到变分不等式的一个解.本文的主要内容如下:首先,介绍伪单调变分不等式自适应投影算法的研究背景、国内外研究状态以及本文的主要研究内容.其次,在希尔伯特空间中研究伪单调变分不等式问题的自适应投影算法.该算法相比之前的算法,每一步迭代都具有更大的步长.在映射是伪单调和Lipschitz连续的假设条件下,证明了该算法生成的序列强收敛到变分不等式的解.最后,给出了算法的数值实验结果.数值实验的结果表明新算法在一些例子上取得了较好的结果.

关键词：变分不等式 Lipschitz连续伪单调自适应投影算法强收敛

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变分不等式的惯性外梯度算法研究

变分不等式的惯性外梯度算法研究

作者：李肖银西安电子科技大学

学位级别：硕士

变分不等式理论由Stampacchia于60年代初提出，在微分方程、经济学、最优化控制、交通运输等领域有着广泛的应用.随着不同学科之间的交叉融合以及相互促进，变分不等式已经成为最优化理论研究的核心课题之一，为许多线性、非线性问题的... 详细信息

变分不等式理论由Stampacchia于60年代初提出，在微分方程、经济学、最优化控制、交通运输等领域有着广泛的应用.随着不同学科之间的交叉融合以及相互促进，变分不等式已经成为最优化理论研究的核心课题之一，为许多线性、非线性问题的解决提供了一个简单有效的方法.因此，研究变分不等式理论具有一定的学术价值和应用价值.　　由于变分不等式一般没有解析解，一个热门的研究方向是如何借助各种概念和思想设计出高效实用的数值算法以寻找变分不等式问题的近似解，并分析所提算法的收敛性.投影梯度算法因具有存储量小且计算简单的优点，在变分不等式问题的求解中发挥了极大的作用.在构造变分不等式的迭代算法时，步长的选取至关重要.一些经典的算法通常使用Lipschitz常数来确定步长的范围，但是在实际操作中，Lipschitz常数往往难以估计.本文在现有理论的基础上，通过构造新的步长，提出了四种修正的求解变分不等式问题的数值算法，并且在不需要提前知道Lipschitz常数或甚至不假设映射的Lipschitz连续性的条件下证明了算法的收敛性.所得结论是对已有结论更一般的推广和改进，具体内容表述如下:　　1.对伪单调变分不等式的惯性次梯度外梯度投影算法进行修正.基于Dong，Jiang和Gibali等学者提出的次梯度外梯度算法，给出了两种带有惯性项的迭代算法.修正后的算法结合了投影收缩算法的优点，对次梯度外梯度算法中第二步的步长进行改进.值得强调的是，第一种算法采取的单调步长策略无需进行线搜索，减少了每一步的计算量，使得算法可以在没有Lipsehitz常数先验知识的情况下工作.第二种算法利用的类Armijo步长方法则减弱了映射的Lipschitz连续性，使其在一致连续的条件下进行工作.在映射F伪单调的条件下，证明了两种算法都具有弱收敛性.最后通过具体算例的数值实验说明了所提算法的有效性与优越性.　　2.对变分不等式和不动点问题公共解的惯性外梯度算法进行修正.在次梯度外梯度算法和Tseng外梯度算法的基础上，引入了惯性算法以及黏度算法，并提出了两种简单有效的算法.所提算法均采用了非单调步长策略，使得步长无需进行线搜索且不依赖于映射的Lipschitz常数.在映射F的伪单调性和映射U的拟非扩张性的假设下，分别证明了所提算法强收敛于变分不等式和不动点问题的公共解.最后在有限和无限维空间中的数值实验表明了所提算法十分有效.

关键词：变分不等式伪单调映射不动点问题投影梯度算法 Lipschitz连续

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变分不等式惯性投影算法研究

变分不等式惯性投影算法研究

作者：杨蓝翔西华师范大学

学位级别：硕士

本文在Hilbert空间中,对单调变分不等式以及拟单调变分不等式问题中的惯性投影算法进行深入研究。首先,本文利用一种惯性项来加速Denisov等提出的算法1,给出求解单调变分不等式的一类惯性次梯度外梯度投影算法。并且在Denisov等所提出... 详细信息

本文在Hilbert空间中,对单调变分不等式以及拟单调变分不等式问题中的惯性投影算法进行深入研究。首先,本文利用一种惯性项来加速Denisov等提出的算法1,给出求解单调变分不等式的一类惯性次梯度外梯度投影算法。并且在Denisov等所提出的假设条件下证明了此惯性投影算法的全局弱收敛性。数值实验表明,新算法比Denisov等提出的算法1有更少的迭代次数和计算机运行时间。其次,为了加速Liu和Yang提出的算法3.1,本文增加一种新惯性项,给出了求解拟单调变分不等式的一类新惯性自适应投影算法。并且在Liu和Yang所提出的假设条件下证明了此新惯性投影算法的全局弱收敛性。数值实验表明新算法优化Liu和Yang提出的算法3.1。论文的主要内容如下:第1章:介绍所研究问题的背景,国内外研究的成果与现状以及本文内容的结构安排。第2章:介绍在证明两类算法收敛性分析的过程中需要用到的基本定义与引理。第3章:提出了一类惯性次梯度外梯度投影算法。在与Denisov等提出的假设条件下,证明了此算法的全局弱收敛性。最后给出数值实验分析结果。第4章:对惯性项进行改进,提出了一类新惯性自适应投影算法。在Liu和Yang提出的假设条件下,证明了此算法的全局弱收敛性。最后给出数值实验分析结果。第5章:对整篇论文进行总结并给出对未来的展望。

关键词：变分不等式单调拟单调惯性投影算法

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变分不等式问题的自适应算法研究

变分不等式问题的自适应算法研究

作者：曾宇娇重庆师范大学

学位级别：硕士

作为变分原理的主要推广形式,变分不等式常常应用于交通运输、控制理论、计算机科学等领域.另外,不动点理论作为泛函分析重要组成部分,其研究结果也有着广泛的运用.现如今,变分不等式问题的研究已经非常成熟,大量创新且高效的算法被提出... 详细信息

作为变分原理的主要推广形式,变分不等式常常应用于交通运输、控制理论、计算机科学等领域.另外,不动点理论作为泛函分析重要组成部分,其研究结果也有着广泛的运用.现如今,变分不等式问题的研究已经非常成熟,大量创新且高效的算法被提出,因此本文基于自适应步长的次梯度超梯度算法,在实Hilbert空间和2-一致凸、一致光滑Banach空间上研究变分不等式问题.在实Hilbert空间中,提出一种修正的自适应次梯度超梯度算法,用于求解伪单调变分不等式问题和不动点问题,准确地说,在算子F是一致连续的,T是非扩张映射等条件下,算法生成的序列是强收敛的,最后,数值实验结果表明所提算法是有效的.在2-一致凸、一致光滑Banach空间中,提出一种具有惯性项的次梯度超梯度算法,用于解决伪单调和Lipschitz算子的变分不等式问题.此外,在一些适当的假设下,本文证明了由算法生成的序列的强收敛定理.

关键词：变分不等式不动点问题次梯度超梯度算法强收敛自适应步长

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耗散系统的虚功变分不等式及其应用

力学学报 2023年第4期55卷 895-902页

作者：冯晔李杰同济大学土木工程学院上海200092

对于保守系统,能量变分原理为推导力学系统控制方程提供了简洁的途径.对于耗散系统,控制方程的建立往往需要引入经验的或理性的假定,增大了建模的难度.针对耗散系统,引入系统局部稳定的概念,并在此基础上,提出一类虚功变分不等式.这一... 详细信息

对于保守系统,能量变分原理为推导力学系统控制方程提供了简洁的途径.对于耗散系统,控制方程的建立往往需要引入经验的或理性的假定,增大了建模的难度.针对耗散系统,引入系统局部稳定的概念,并在此基础上,提出一类虚功变分不等式.这一不等式事实上揭示了耗散系统的一类虚功不等原理.该原理的物理含义为:使系统状态稳定的必要条件是,在该状态附近所有可能的虚拟路径上系统释放的势能不大于系统耗散的能量.研究表明:仅需结合虚功不等原理和能量守恒原理,即可导出准静态系统力学状态量的全部控制方程.作为应用,文章重新讨论了塑性力学,结合虚功不等原理与能量守恒原理,导出经典塑性力学的全部控制方程,并证明了经典的最大塑性耗散原理可以作为虚功不等原理的推论导出;同时,以Mohr-Coulomb强度准则为例,讨论了虚功不等原理在强度理论中的应用,说明基于应力的强度准则可以是基于能量的稳定性准则的推论.上述例子说明了虚功不等原理的广泛适用性和在建立耗散系统控制方程中的有效性.

关键词：变分原理变分不等式虚功塑性力学 Mohr-Coulomb强度准则

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变分不等式的具有惯性项的投影算法

变分不等式的具有惯性项的投影算法

作者：张燕四川师范大学

学位级别：硕士

本文针对希尔伯特空间中的变分不等式问题,在向可行集的投影容易计算和不容易计算这两种情况下,分别提出了具有惯性项的投影算法.首先,当向可行集的投影容易计算时,提出了求解变分不等式的惯性自适应次梯度外梯度投影算法.在映射满足伪... 详细信息

本文针对希尔伯特空间中的变分不等式问题,在向可行集的投影容易计算和不容易计算这两种情况下,分别提出了具有惯性项的投影算法.首先,当向可行集的投影容易计算时,提出了求解变分不等式的惯性自适应次梯度外梯度投影算法.在映射满足伪单调、Lipschitz连续和序列弱连续时证明了该算法的弱收敛性并给出了收敛率分析.进一步,通过引入一个压缩映射,提出了求解伪单调变分不等式的强收敛算法.同时给出了弱收敛算法和强收敛算法的数值实验,表明了算法的有效性.其次,当向可行集的投影不容易计算时,主要考虑可行集是由不等式约束构成的集合,用一个向包含可行集的超平面投影代替向可行集投影,提出了惯性松弛投影算法.在映射满足单调和Lipschitz连续时证明了该算法的弱收敛性并给出了收敛率分析.进一步,通过引入一个压缩映射,提出了求解单调变分不等式的强收敛算法.同时给出了数值实验,表明算法的有效性.

关键词：变分不等式投影算法单调映射伪单调映射弱收敛强收敛

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变分不等式问题的微分方程方法的研究

变分不等式问题的微分方程方法的研究

作者：陈星旭沈阳航空航天大学

学位级别：硕士

变分不等式问题是数学领域中最基本的问题之一,它作为变分原理的主要推广,是非线性问题。它不仅与经济学、最优化理论、力学中的单边问题、控制理论、平衡问题、微分方程、非线性规划问题都有着密切的联系,并且有重要应用。本文运用微... 详细信息

变分不等式问题是数学领域中最基本的问题之一,它作为变分原理的主要推广,是非线性问题。它不仅与经济学、最优化理论、力学中的单边问题、控制理论、平衡问题、微分方程、非线性规划问题都有着密切的联系,并且有重要应用。本文运用微分方程方法求解了三种不同类型的变分不等式,与传统的微分方程方法或神经网络方法不同的是,本文直接从投影算子方程组建立微分方程系统,并且不必构造Lyapunov函数得到微分方程系统的解的轨迹的聚点是所研究的变分不等式问题的解。主要内容如下:第一章主要介绍了变分不等式的研究背景和微分方程方法的研究现状、投影的定义和投影定理等预备知识,同时介绍了本文的结构。第二章研究了具有循环单调映射的变分不等式问题的微分方程方法。首先得到了循环单调映射的一个重要不等式,然后通过投影算子方程分别建立了一阶微分方程系统和二阶微分方程系统,并证明了两类微分方程系统的解的轨迹收敛到循环单调映射的变分不等式的解。最后给出了四个算例验证了该方法的有效性同时对比了两种微分方程系统在求解该四个算例的收敛速度。第三章研究了具有不等式约束条件的变分不等式的微分方程方法。利用拉格朗日函数和投影算子,得到了具有不等式约束条件的变分不等式的等价的投影算子方程组,在通过该方程组建立了具有控制过程的二阶微分方程系统。本文证明了该微分方程系统的解的轨迹的聚点是具有不等式约束条件的变分不等式的解。给出了数值实验验证了该方法的有效性,同时通过数值实验分析了微分方程系统中的参数对收敛速度的影响。第四章研究了具有双约束条件的变分不等式的微分方程方法。首先介绍了对称函数的定义及其性质,然后将具有双约束条件的变分不等式看作一个特殊的优化问题,运用拉格朗日函数的鞍点不等式和投影引理得到与该变分不等式等价的投影算子方程组。运用该方程组建立了具有控制过程的二阶微分方程系统,证明了该微分方程系统的解的聚点是具有双约束条件的变分不等式的解。最后给出数值结果验证了该方法的有效性。文章的最后给出了本文的总结。

关键词：变分不等式微分方程方法投影算子拉格朗日函数

变分不等式问题和半压缩映射有限簇的强收敛定理

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贵州大学学报（自然科学版） 2024年第1期41卷 31-36页

作者：房萌凯高兴慧郭玥蓉王永杰延安大学数学与计算机科学学院陕西延安716099

在Hilbert空间中,首先,构造了一种新的平行迭代方法用于逼近伪单调变分不等式的解集和半压缩映射有限簇的公共不动点集的公共元;其次,在适当假设条件下,证明了该算法生成的迭代序列的强收敛性;最后,给出具体的数值实验检验了所提出算法... 详细信息

在Hilbert空间中,首先,构造了一种新的平行迭代方法用于逼近伪单调变分不等式的解集和半压缩映射有限簇的公共不动点集的公共元;其次,在适当假设条件下,证明了该算法生成的迭代序列的强收敛性;最后,给出具体的数值实验检验了所提出算法的有效性。

关键词：变分不等式半压缩映射有限簇强收敛定理