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深度 BSDE 方法（Deep BSDE Method）由[Weinan et al.,2017],[Han et al.,2018]提出,通过使用多层神经网络作为函数逼近器,缓解了数值模拟高维BSDE产生的”维数灾难”的问题,改善了高维Markovian BSDE和与之对应的高维Parabolic PDE数... 详细信息

深度 BSDE 方法（Deep BSDE Method）由[Weinan et al.,2017],[Han et al.,2018]提出,通过使用多层神经网络作为函数逼近器,缓解了数值模拟高维BSDE产生的”维数灾难”的问题,改善了高维Markovian BSDE和与之对应的高维Parabolic PDE数值模拟的效率.本文把Deep BSDE Method推广到了反射BSDE以及最近由[Briand et al.,2018]提出的带均值反射的BSDE的情形.对于反射型的BSDE,本文在Deep BSDE Method已有的基于终端条件的损失函数的基础上引入了新的损失函数项,使得离散化的价值过程Yt时刻大于反射壁的条件以及Skorohod条件没有满足时产生额外的损失.对于带均值反射的BSDE,本文同样引入了类似的损失项,使得离散化的价值过程Yt的某种均值大于反射壁的条件以及类似的Skorohod条件没有满足时,会产生额外的损失.由于带均值反射的BSDE的Markov性质目前还没有理论证明,因此本文考虑了两种不基于Markov假设的模拟方法,第一种方法设控制项Ztn同时为当前的状态项Xtn和上一个状态项Xtn-1的函数;第二种方法引入了更一般的类似循环神经网络的结构,使得控制项Ztn依赖于当前时刻之前的所有状态.然后,本文在PyTorch工具箱中给出了上述推广模型的数值实验.对于反射型BSDE,本文给出了一种100维的美式期权定价模型的数值模拟;对于带均值反射的BSDE,本文给出了一种100维的带风险约束的上对冲模型的数值模拟.并且对于这两个方程,都给出了模拟方法在不同神经网络层数,不同的终端条件,不同的Euler格式对时间轴划分的稠密程度的对照实验.特别地,对于反射型的BSDE,文章也实现了上述的两种不基于Markov的模拟方法,并且对实验结果做了对比.最后,为了获得文中提出的推广方法的模拟精度,本文给出了在一维反射型BSDE和带均值反射的BSDE的情形下,传统的二叉树方法的数值模拟与推广的深度BSDE方法的数值模拟的对比.

关键词：倒向随机微分方程反射型倒向随机微分方程深度学习数值模拟

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