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双曲型守恒律方程高阶能量稳定格式的研究

双曲型守恒律方程高阶能量稳定格式的研究

作者：宋志武长安大学

学位级别：硕士

双曲型守恒律方程数值解法既是偏微分方程数值解研究的重点，也是难点。通常我们只能得到该方程的弱解，所以必须对其加以限制，才可能获得符合物理背景的解。与物理背景紧密联系的方法分为两类：分别是从能量稳定角度或熵稳定角度对问... 详细信息

双曲型守恒律方程数值解法既是偏微分方程数值解研究的重点，也是难点。通常我们只能得到该方程的弱解，所以必须对其加以限制，才可能获得符合物理背景的解。与物理背景紧密联系的方法分为两类：分别是从能量稳定角度或熵稳定角度对问题进行研究。能量稳定格式具有结构简洁、分辨率较高等优点，近年来倍受大家关注，通量重构思想是该方法的核心，以此为基础人们提出了各种通量重构方法。针对一般方法在精度和稳定性方面的不足，Huynh提出了高阶通量重构法，其本质是首先将通量分为间断通量和修正通量，以此为基础，分别对其进行高阶重构，进而将其相加，得到数值交界面通量。本文在Huynh工作的基础上，将Nodal Discontinuous Galerkin法和SpectralDifference法分别引入到高阶修正通量构造和能量稳定性的证明中，得到一种新的数值方法即高阶能量稳定格式。该方法具有物理背景明确、无需添加人工耗散项、格式精度高等特点，能有效避免非物理解的产生，是一种求解双曲型守恒律方程的有效方法。本文主要工作如下：（1）详细介绍了能量保持格式和一般能量稳定格式的构造过程和相关原理。构造了一类保持总能量不变的能量保持格式，阐述了一般能量稳定格式在数值试验中存在的不足。（2）构造了一类高精度的能量稳定格式。通过在标准元上选取高次多项式作为基函数，进行单元通量高阶重构，提高了格式的精度;允许基函数在单元交界面处出现间断，有效地扑捉到了数值解中的激波。（3）恰当地选取参数c，确定了通量修正函数，保证了格式的能量稳定性。通过恢复几种重要格式，并进行数值实验。一系列数值算例表明，高阶能量稳定格式是鲁棒的、有效的。

关键词：双曲型守恒律方程能量稳定格式通量重构修正函数

求解带刚性源项标量双曲型守恒律方程的保有界WCNS格式

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计算数学 2021年第2期43卷 241-252页

作者：唐玲艳郭嘉宋松和国防科技大学文理学院数学系长沙410073

带刚性源项的双曲守恒律方程是很多物理问题,特别是化学反应流的数学模型.本文考虑带刚性源项的标量双曲型守恒律方程,通过时空分离的方式,发展了一类保有界的WCNS格式.对于空间离散,我们将参数化的通量限制器推广到WCNS框架,使得方程... 详细信息

带刚性源项的双曲守恒律方程是很多物理问题,特别是化学反应流的数学模型.本文考虑带刚性源项的标量双曲型守恒律方程,通过时空分离的方式,发展了一类保有界的WCNS格式.对于空间离散,我们将参数化的通量限制器推广到WCNS框架,使得方程对流项离散后满足极值原理.对于时间离散,我们将半离散的WCNS改写成指数形式,采用三阶修正指数型Runge-Kutta格式来控制方程的刚性,保持数值解的界.可以证明,本文格式对带刚性源项的一维标量守恒律方程具有保有界性和弱渐近保持性.数值试验验证了方法的有效性.

关键词：加权紧致非线性格式双曲型守恒律方程保极值原理指数型Runge-Kutta方法

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求解双曲型守恒律方程的熵稳定格式研究

求解双曲型守恒律方程的熵稳定格式研究

作者：罗力长安大学

学位级别：硕士

双曲型守恒律方程的数值解法一直是计算流体力学研究的重要课题之一。由于双曲型守恒律方程的解往往是弱解,很多数值方法无法保证其具有物理意义。为解决该问题,本文研究并发展了一类新的数值方法：熵稳定格式。该类方法与物理概念联系... 详细信息

双曲型守恒律方程的数值解法一直是计算流体力学研究的重要课题之一。由于双曲型守恒律方程的解往往是弱解,很多数值方法无法保证其具有物理意义。为解决该问题,本文研究并发展了一类新的数值方法：熵稳定格式。该类方法与物理概念联系紧密,有充分的理论基础,可以避免产生非物理现象,且计算过程中无需人工参数,在求解双曲型守恒律方程上展现出良好的应用前景。为提高现有的熵稳定格式的精度,论文引入了近年来快速发展的高分辨率方法。通过插入对称型的限制器和在单元交界面处进行高阶重构,得到一类高分辨率的熵稳定格式。新格式满足熵稳定条件,且在激波等间断问题上具有良好的捕捉效果。文中大部分算例都是第一次在该类方法上进行尝试,算例结果表明新格式具有通用性,可靠性,高精度和无伪振荡性等特点。本文主要内容包括：(1)详细介绍了熵守恒/熵稳定格式的设计过程和相关理论。构造了一类保持总熵不变的熵守恒格式,并证明了该格式具有二阶精度。基于比较原则,研究了一系列常用的三点格式并用数值算例验证了相关结论。然后,结合熵守恒格式和Roe格式,得到熵稳定的ERoe格式,该格式具有良好的间断捕捉效果。(2).构造了一类高分辨率的熵稳定格式。通过引入对称型的限制器,.实现了格式的自适应性,即在光滑区域达到熵守恒格式的高精度,而在间断区域具有足够的粘性以抑制伪振荡。然后,采用WENO方法进行单元交界面处的高阶重构,将熵稳定格式进一步向高阶推广。最后,将熵守恒/熵稳定格式推广至二维情形。通过数值算例表明,在二维情形下熵守恒/熵稳定格式的性质仍然得到保持。(3)将熵守恒/熵稳定格式推广至双曲型守恒律系统。介绍了适用于一般系统的逐段分解的显式构造方法,并给出相关证明。对Euler方程组,借助Roe的线性化矩阵的特征向量集来求出相空间的分段路径。对二维浅水波方程组,采用一种构造相对简单的熵守恒格式,提高了计算效率。然后,通过引入限制器和采用WENO方法进行高阶重构,得到了两种方程组相应的高分辨率熵稳定格式。通过一系列数值算例表明,熵守恒/熵稳定格式可准确地捕捉解的结构。

关键词：双曲型守恒律方程熵守恒/熵稳定格式比较原则高分辨率限制器

三维非结构网格上求解双曲型守恒律方程的一类三阶精度有限体积格式

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数值计算与计算机应用 2013年第3期34卷 212-220页

作者：唐玲艳傅浩宋松和国防科学技术大学理学院数学与系统科学系长沙410073

考虑标量双曲型守恒律方程,对三维非结构四面体网格给出了一类满足局部极值原理的三阶精度有限体积格式.方法的主要思想是时间和空间分开处理,时间离散采用三阶TVD RungeKutta方法;对空间,在每一个四面体单元上基于最小二乘原理构造一... 详细信息

考虑标量双曲型守恒律方程,对三维非结构四面体网格给出了一类满足局部极值原理的三阶精度有限体积格式.方法的主要思想是时间和空间分开处理,时间离散采用三阶TVD RungeKutta方法;对空间,在每一个四面体单元上基于最小二乘原理构造一个二次多项式,结合数值解光滑探测器和梯度限制器,使其在光滑区域具有高阶精度,在间断区域满足局部极值原理.该格式具有间断分辨能力高,编程实现简便,计算速度快等优点.典型算例的数值试验表明,该格式是有效的.

关键词：双曲型守恒律方程非结构四面体网格高精度方法

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非齐次守恒律方程激波的形成

非齐次守恒律方程激波的形成

作者：宰令月南京航空航天大学

学位级别：硕士

本文研究守恒律方程激波的形成问题．对于此类问题Courant在文献[3]中有简单的介绍，在此基础上，陈恕行在文献[1]中对齐次拟线性双曲守恒律方程激波的形成与构造作了详细的阐述，2000年陈恕行与董黎明老师在文献[2]中详细讨论了P-方程... 详细信息

本文研究守恒律方程激波的形成问题．对于此类问题Courant在文献[3]中有简单的介绍，在此基础上，陈恕行在文献[1]中对齐次拟线性双曲守恒律方程激波的形成与构造作了详细的阐述，2000年陈恕行与董黎明老师在文献[2]中详细讨论了P-方程组的激波生成与构造．本文是在前人研究的基础上，对非齐次双曲守恒律方程激波的形成进行了详细证明．本文研究了两个问题，第一个是对齐次拟线性双曲守恒律方程关于包络起点问题作了说明．激波的形成源于特征的包络，在关于拟线性PDE激波的估计中，许多文献中往往假设包络形成时刻为t0，这是否可行呢？本文将证明当t0时，在特征线上初始时刻的值与包络起点时刻上的值存在一一对应关系，通过坐标变换可以将其转换成t0的情形，从而证明了假设的可行性，这也为本文接下来的证明作了铺垫．第二个问题是论文的重点，主要对非齐次守恒律方程激波的形成展开讨论．首先说明对于适当的初值，光滑解从某点(t*,x*)开始破裂，并进一步指出从(t*,x*)开始将产生一个激波，激波强度从零开始逐步增强．然后构造解u (t,x)，在t t*时是光滑解，在t t*时在激波两侧仍连续，但在激波线上有间断且在间断线上满足Rankine-Hugoniot条件．最后阐述解的构造过程，并由Peano定理证明解的存在性．在证明的过程中，我们巧妙地利用了多元函数的泰勒展开公式，从而简化了陈恕行老师中的相关证明．

关键词：双曲型守恒律方程激波包络一一映射坐标变换 Hugoniot条件 Peano定理多元函数的泰勒展开

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一种基于过积分的能量稳定通量重构方法

计算数学 2023年第3期45卷 368-384页

作者：刘冉贾斐然朱华君燕振国冯新龙新疆大学数学与系统科学学院乌鲁木齐830017 CARDC 中国空气动力研究与发展中心空气动力学国家重点实验室绵阳621000 西北工业大学动力与能源学院西安710000

能量稳定通量重构(Energy Stable Flux Reconstruction,ESFR)方法在求解线性对流方程时具有能量稳定性质.但在求解非线性方程时能量稳定性质的实现需要采用L2投影,否则可能由于存在混淆误差,导致不稳定.本文将ESFR与过积分相结合构造具... 详细信息

能量稳定通量重构(Energy Stable Flux Reconstruction,ESFR)方法在求解线性对流方程时具有能量稳定性质.但在求解非线性方程时能量稳定性质的实现需要采用L2投影,否则可能由于存在混淆误差,导致不稳定.本文将ESFR与过积分相结合构造具有良好去混淆效果的高阶通量重构(Flux Reconstruction,FR)方法.采用积分点大于求解点(Q> P)的取点方式,从理论上分析了格式的能量稳定特性.从数值上对比了gDG与gSD两种修正函数,三种不同过积分取点方式,并对比过积分与非过积分形式的ESFR(Q=P).通过对一维非均匀线性对流方程、二维等熵涡及欠解析涡流算例的模拟,结果表明:在gSD修正函数下,ESFR(Q> P)格式比ESFR(Q=P)格式去混淆效果更好,数值误差更小;对比两种修正函数,gDG修正函数数值误差更小,更稳定:对比三种过积分通量点分布,选定gDG修正函数时,通量点取Legendre-GaussLobatto(LGL)点或者通量点基于高斯权重剖分会具有更好的非线性稳定性,并且通量点取LGL点时最优.

关键词：高阶方法过积分稳定性 ESFR方法双曲型守恒律方程

带权Burger方程的初边值问题的整体光滑解

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广西民族学院学报（自然科学版） 1998年第2期4卷 6-8页

作者：李柱恒广西民族学院数学与计算机科学系

考虑带权Ｂｕｒｇｅｒ方程的初边值问题，构造性地证明了整体光滑解的存在性．

关键词：带权Burger方程带权守恒律边界条件整体光滑解初边值问题双曲型守恒律方程权函数

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基于四阶CWENO重构的熵相容格式研究

基于四阶CWENO重构的熵相容格式研究

作者：颜克清长安大学

学位级别：硕士

随着计算机科学技术日新月异的发展,运用数值计算方法求解计算流体力学中双曲守恒律方程也变得尤为重要。近年来,为保证数值计算方法所求的双曲守恒律的解具有物理意义,根据热力学第二定律,发展了满足熵稳定条件的一些数值求解格式,如... 详细信息

随着计算机科学技术日新月异的发展,运用数值计算方法求解计算流体力学中双曲守恒律方程也变得尤为重要。近年来,为保证数值计算方法所求的双曲守恒律的解具有物理意义,根据热力学第二定律,发展了满足熵稳定条件的一些数值求解格式,如本文中研究的熵稳定和熵相容格式,可以避免“膨胀激波”、“色散效应”等非物理现象,应用前景良好。鉴于此,本文从双曲守恒律的物理背景出发,研究熵相容格式的思想理论和构造方法,并在现有的熵相容格式基础上,通过在单元交界面处进行左右状态值的四阶CWENO型重构,设计新型熵相容格式,提高数值格式的精度。并通过Burgers方程和Euler方程进行数值实验,验证新格式在捕捉间断时具有的良好特性,如高精度、鲁棒性、无震荡性等。本文所做的主要工作如下:(1)从求解双曲守恒律方程的熵守恒格式出发重点详述了熵稳定、熵相容及高分辨率熵相容格式的发展,并通过各个格式求解一维无粘Burgers方程间断初值问题,验证各个格式的特点及其捕捉间断的不同效果。(2)通过对计算单元交界面左右值进行四阶CWENO重构,将重构后的左右状态值代入熵相容格式中,结合LeFloch提出的四阶熵守恒格式,构造高精度熵相容格式。并通过对Burgers方程的求解,对比其与原熵相容格式的特点,说明新格式的无震荡性、捕捉间断的有效性。(3)构造求解Euler方程的高精度熵相容数值格式,通过对Euler方程的求解,验证新格式的特点,体现其无震荡性、高精度、高分辨率、鲁棒性等特点。

关键词：双曲型守恒律方程熵相容格式四阶CWENO重构高精度高分辨率

基于三阶CWENO重构的高精度高分辨率熵相容格式研究

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基于三阶CWENO重构的高精度高分辨率熵相容格式研究

作者：杨婷长安大学

学位级别：硕士

双曲守恒律方程是流体力学中重要的物理模型,因此研究能对它准确求解的数值方法是非常重要的。近年来,根据守恒律的基础理论和热力学第二定律,即熵稳定条件发展起来的熵守恒、熵稳定和熵相容格式对双曲型守恒律方程的求解表现出了重要... 详细信息

双曲守恒律方程是流体力学中重要的物理模型,因此研究能对它准确求解的数值方法是非常重要的。近年来,根据守恒律的基础理论和热力学第二定律,即熵稳定条件发展起来的熵守恒、熵稳定和熵相容格式对双曲型守恒律方程的求解表现出了重要的意义。本文就这三种格式的主要思想和构造方法进行了适当的研究,并根据Burgers方程的这三种格式的构造方法对浅水波方程的熵守恒、熵稳定和熵相容格式进行了具体的构造。在此基础之上,本文运用三阶CWENO重构和添加适当的限制器的方法构造出了一种新的高精度高分辨率熵相容格式,并通过数值模拟验证了格式的有效性。主要工作如下:(1)详细研究了熵守恒、熵稳定和熵相容格式的构造思想和特点。熵守恒格式是二阶精度的,但没有耗散机制,因此在间断处会出现振荡。熵稳定格式是对熵守恒格式的改进,给其加入耗散机制以减小振荡。熵相容格式是在熵稳定格式上添加了一个较小的耗散项来满足与实际物理意义上的耗散量相容的要求,从而达到消除或减小振荡的效果。(2)为了更准确地计算问题的数值解,本文通过三阶CWENO重构和给熵相容格式添加适当的通量限制器,构造了一种高精度高分辨率熵相容格式。该格式不仅避免了非物理现象的出现而且能够精确地捕捉稀疏波、激波等,在求解双曲型守恒律方程的过程中表现出了不容忽视的优越性。(3)通过对Burgers方程的格式构造及数值模拟来验证新构造的高精度高分辨率熵相容格式的有效性。(4)针对浅水波方程,在Fjordholm提出的熵守恒格式基础之上,构造了熵稳定、熵相容、高分辨率熵相容、高精度高分辨率熵相容格式。然后,通过数值模拟,比较各格式的有效性,验证高精度高分辨率熵相容格式的优越性。

关键词：双曲型守恒律方程熵守恒/熵稳定/熵相容高精度 CWENO重构高分辨率限制器