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平面拟齐次与半拟齐次多项式系统的若干问题

平面拟齐次与半拟齐次多项式系统的若干问题

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作者：何泽涔广东技术师范大学

学位级别：硕士

平面拟齐次和半拟齐次系统在理论和实际问题中均有重要的应用。本文主要研究一类平面拟齐次多项式微分系统的极限环分支以及平面二、三次半拟齐次系统的极限环和全局相图。全文分为五章。第一章主要介绍近年来国内外对于平面多项式微分... 详细信息

平面拟齐次和半拟齐次系统在理论和实际问题中均有重要的应用。本文主要研究一类平面拟齐次多项式微分系统的极限环分支以及平面二、三次半拟齐次系统的极限环和全局相图。全文分为五章。第一章主要介绍近年来国内外对于平面多项式微分系统,尤其是拟齐次系统和半拟齐次系统的可积性、标准型、极限环、全局相图等问题的研究现状。第二章介绍了平面拟齐次和半拟齐次系统的基本概念、阿贝尔积分、吹胀技巧、庞加莱紧致化以及本文要用到的重要引理。第三章研究一类具有全局中心的（m,1）型平面拟齐次系统。通过探究阿贝尔积分的零点个数,分别研究该系统的周期环域在n次多项式扰动和在（n,1）型拟齐次多项式扰动下产生的极限环个数的上界,并且证明了该上界是可达的。第四章研究平面二次半拟齐次系统的极限环及全局相图。首先根据已有文献给出的系统的标准型,采用吹胀法和幂零奇点定理等工具来分析这些标准系统的唯一有限奇点附近轨线的结构,从而获得局部相图;接着,应用庞加莱紧致化的方法研究系统在无穷远的奇点类型;之后,探讨系统有无极限环。综合上述讨论获得所有标准系统的全局相图。最后,对这些全局相图进行分类,发现:在拓扑等价的意义下,二次半拟齐次系统有6类不同的全局相图。第五章首先讨论几类半拟齐次系统的极限环问题,包括证明了三次齐次和拟齐次系统均无极限环,而三次半齐次及半拟齐次系统都存在极限环。在此基础上给出存在唯一的稳定极限环的三次半拟齐次系统的标准型,并且进一步把这个系统的表达式推广到更一般的奇数次半拟齐次系统,使得它们均具有唯一的稳定极限环。最后,采用第四章的方法证明了,在拓扑等价的意义下,三次半拟齐次系统具有43类不同的全局相图。

关键词：多项式系统拟齐次半拟齐次极限环全局相图

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