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数值保角变换模拟电荷法的收敛证明及数值模拟研究

数值保角变换模拟电荷法的收敛证明及数值模拟研究

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作者：孙筱炜昆明理工大学

学位级别：硕士

保角变换也称共形映射,是复变函数中的重要问题之一,它在电磁理论、光学、流体力学等物理问题的很多领域中都有着广泛应用.数值保角变换计算法在处理工程中的实际问题时,具有应用便捷和精度高等显著优势.模拟电荷法是利用位于问题区域... 详细信息

保角变换也称共形映射,是复变函数中的重要问题之一,它在电磁理论、光学、流体力学等物理问题的很多领域中都有着广泛应用.数值保角变换计算法在处理工程中的实际问题时,具有应用便捷和精度高等显著优势.模拟电荷法是利用位于问题区域外部的点电荷的电势来求解二维Laplace方程的边值问题的近似解的一种算法,该方法得到的近似解对于Dirichlet边值问题精度较高.日本的Amano等数学研究者从上世纪80年代起对数值保角变换计算法和模拟电荷法做出大量研究后,提出了基于模拟电荷法的数值保角变换计算法,即Amano法.用模拟电荷法处理保角变换问题时,它的优势在于可构成表现形式简单,计算精度高的近似变换函数,从而简化了计算复杂度.由于基于模拟电荷法的数值保角变换计算法避免了数值积分计算,所以该方法具有计算效率高,同时具有计算精度高等优点,且利用拉普拉斯方程的最大值原理在边界上评价误差.本文主要研究基于模拟电荷法的外部数值保角变换问题,主要工作有:(1)简单介绍了保角变换和模拟电荷法的基础理论.(2)首先证明了二维Laplace方程的Dirichlet边值问题近似解是指数收敛的,然后从理论上证明了基于模拟电荷法的外部数值保角变换函数的收敛定理,其边界误差指数收敛,最后通过数值实验的方法验证了收敛定理的准确性.(3)首先通过模拟电荷法构造外部数值保角变换的约束方程组,其系数矩阵为大型非奇异的稀疏矩阵.然后使用WGMRES(m)法求解该约束方程组,WG-MRES(m)法是通过加权arnoldi过程改进GMRES(m)法得到的.得到模拟电荷Q和变换半径Γ的值,构造近似保角变换函数.最后,通过数值实验对比本文提出的算法与Amano法.结果表明,该算法可以构造更高精度的近似保角变换函数,尤其是处理边界曲线不可微的问题时,其误差精度明显高于Amano法,验证了该算法的可靠性和有效性.(4)给出了以超卵形线、两条对称抛物线围成的封闭曲线、心形线为边界的外部保角变换模拟电荷点和约束点的放置位置.

关键词：模拟电荷法保角变换收敛性加权arnoldi WGMRES(m)法

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